Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма

Як відомо, визначений інтеграл може бути замінений його наближеним значенням, що обчислюються за допомогою квадратурної формули:

(5.7)

де – номера вузлів сітки по змінній, – коефіцієнти квадратурної формули.

Приведемо значення коефіцієнтів для різних квадратурних формул. Нехай , .

1. Формула лівих прямокутників:

.

2. Формула трапецій

3. Формула Симпсона ():

.

Підставивши праву частину наближеного рівності (5.7) із замість інтеграла в інтегральне рівняння (5.5), одержимо:

(5.8)

Вираження (5.8) задає функцію, що описує наближений розв'язок інтегрального рівняння (5.5). Введемо на відрізку дискретну часову сітку , вузли якої збігаються з вузлами сітки . Для кожного моменту часу виконується рівність:

, . (5.9)

Введемо позначення , , і запишемо (5.9) у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь із невідомими:

(5.10)

Маэмо такий алгоритм знаходження розв'язку рівняння Фредгольма другого роду.

1. Задати часову сітку .
2. Обчислити значення функції у вузлах часової сітки.
3. Обчислити елементи матриці, складеної з коефіцієнтів системи лінійних алгебраїчних рівнянь (5.10).
4. Розв'язати СЛАУ.

Точність чисельного розв'язку інтегрального рівняння залежить від:

- застосовуваної квадратурної формули;

– числа вузлів часової сітки;

– властивостей функції .

Для оцінки максимальної апостеріорної погрішності чисельного розв'язку використовують принцип Рунге. Даний принцип полягає в порівнянні чисельних розв'язків, отриманих на часових сітках із кроком і в тих самих вузлах часової сітки.

Величина погрішності чисельного розв'язку для кожного значення змінної , де , оцінюється за формулою:

,

де p – порядок квадратурної формули, що використовується.

Недолік підходу: при даному способі контролю доводиться обмежуватися квадратурними формулами, придатними тільки для сіток з рівномірним кроком.

Приклад 5.3. Розв'язати інтегральне рівняння , використовуючи квадратурну формулу Симпсона.

Виконаємо спочатку розрахунки вручну, вибравши на відрізку тільки 3 точки х = [ 0, 0.5, 1].

Замінимо інтеграл квадратурною сумою за методом Симпсона:

Підставляємо останній вираз для інтеграла в рівняння для кожного значення на обраній сітці й одержуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Візьмемо значення і отримаємо систему

Рішенням системи є значення .

Перевіремо це рішення програмно в системі MATLAB.

 

a=0; b=1; n=3; h=0.5;lambda=1/2;

x=a:h:b; b=f1(x);

for i=1:n

for j=1:n

% задаємо коефіцієнти квадратурної формули

if (rem(j,2)==1) c=2*h/3; else c=4*h/3; end;

if (j==1 || j==n) c=h/3; end;

k(i,j)=K1(x(i),x(j));

% обчислюємо коефіцієнті системи рівнянь

if (i==j)

a(i,j)=1-lambda*c*k(i,j);

else

a(i,j)=-lambda*c*k(i,j);

end;

end;

end;

% розв’язуємо систему і будуємо графік рішення

y=a\b'

plot(x,y); grid on;

 

Функції

function z=K1(x,t)

z=x*t;

 

function y=f1(x)

y=5/6*x;

 

Точний розв'язок рівняння . Збільшення кількості точок на інтервалі не поліпшує якість наближення (це тільки для цього прикладу!).

Загальні відомості про інтегральні рівняння Вольтерра

Визначення 3. Лінійним інтегральним рівнянням Вольтера називаються рівняння виду

(5.11)

(рівняння 2-го роду) або виду

(5.12)

(рівняння 1-го роду). В (5.11) і (5.12) – шукана функція, а ядро й вільний член передбачаються заданими відповідно в трикутнику , і на відрізку .

Розв'язком рівняння (5.11) будемо називати функцію , , що обертає це рівняння в тотожність. Будемо вважати, що функції й безперервні у своїй області визначення. При цій умові рівняння (5.11) має єдиний розв'язок у класі функцій, безперервних на .

Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра

Будується послідовність функцій , . Нульове наближення – довільна функція.

Наступні наближення визначаються за допомогою рекурентного співвідношення:

, .

Якщо ядро й вільний член безперервні відповідно при , і на відрізку , то послідовність наближень , при сходиться до єдиного безперервного розв'язку інтегрального рівняння. Звичайно вважають .

Приклад 5.4. Методом послідовних наближень розв'язати рівняння .

Розв'язок. Прийнявши , послідовно знаходимо:

, .

У загальному випадку

.

Звідки .