Побудова сітки й апроксимація рівняння

Розглянемо розв'язок задачі Діріхле (задані значення функції на границі області) рівняння Лапласа

,

у квадраті із граничними умовами

, , , .

Почнемо зі знайомства з поняттям кінцево-різницева похідна. Похідну функції заміняють виразом

, (2.1)

який апроксимує похідну в точці з точністю до членів порядку . Вираз, що стоїть в правій частині (2.1), називається правою різницевою похідною. В розкладі у ряд Тейлора функції можна замінити на й одержати ліву різницеву похідну:

. (2.2)

Складаючи (2.1) і (2.2), одержуємо центральну різницеву похідну:

,

яка має другий порядок апроксимації, тобто .

Аналогічно можна одержати апроксимацію другої похідної:

.

Тепер можна поширити поняття кінцево-різницевої похідної на частинні похідні. Використовуючи розкладання функції двох змінних в ряд Тейлора

,

,

знаходимо вирази для кінцево-різницевої апроксимації частинних похідних:

, ,

,

.

Побудуємо на площині сітку (рис. 2.1). Будемо використовувати такі позначення:

, , , , , , , , ,

 

Рисунок 2.1 - Координатна сітка, що використовується для розв'язку рівнянь з частинними похідними еліптичного типу

 

Замінимо частинні похідні в рівнянні Лапласа їх кінцево-різницевою апроксимацією:

(2.3).

Вважають, що це різницеве рівняння апроксимує вихідне диференціальне з порядком .

Якщо ( у квадраті), то рівняння Лапласа приводиться до виду:

(2.4)

В (2.3) усі співвідношення беруться для внутрішніх вузлів сітки, тому що значення функції на границі задані:

.

Таким чином, (2.3) являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь, порядок якої збігається з кількістю внутрішніх вузлів сітки.

2.3 Вирішення системи алгебраїчних рівнянь, що одержана в результаті кінцево-різницевої апроксимації рівняння еліптичного типу, є одним з найбільш важких по обчислювальних витратах етапів розрахунків. Для підвищення точності розв'язку доводиться використовувати сітки з великим числом вузлів, на яких формуються досить великі системи − нерідко до декількох тисяч алгебраїчних рівнянь. Одним зі способів зменшення числа вузлів є використання сіток з нерівномірним кроком. При цьому сітку згущають у найбільш важливих з погляду точності ділянках, наприклад, поблизу кутів або отворів.

Для розв'язку подібних систем використовують спеціальні методи, що враховують розрідженість матриці коефіцієнтів. Прямі методи (наприклад, метод Гауса) використовувати недоцільно, тому що це приводить до великого об'єму обчислень. З ітераційних методів застосовують метод Якоби (одночасних зсувів) і метод Гауса-Зейделя (послідовних зсувів), а також модифікації останнього, наприклад, метод верхньої релаксації. Система рівнянь (2.3), що зведена до вигляду (2.4), зручна для ітераційних методів. Якщо задати деякі початкові значення розв'язку рівняння Лапласа у вузлах сітки й потім їх послідовно уточнювати відповідно до (2.4), то ітераційний процес буде сходитися до точного розв'язку. Звичайно в якості початкового наближення використовують значення, що дорівнюють середньому арифметичному граничних значень. Недоліком схеми є низька швидкість збіжності ітераційного процесу, яку можна поліпшити, використовуючи спеціальні методи: метод верхньої й нижньої релаксації.

У методі верхньої релаксації ітерації виконуються по наступних формулах:

, (2.5)

де - номер ітерації, - ітераційний параметр, - чергове наближення, отримане за методом Зейделя (формули 2.4).

Таким чином, чисельне вирішення задачі Діріхле методом сіток з розв'язком системи за методом релаксації знаходиться у відповідності з таким алгоритмом:

1. Задати початкові значення величинам у внутрішніх вузлах сітки (наприклад, рівні середньому значенню всіх граничних умов).

2. Перераховувати значення у всіх внутрішніх точках сітки відповідно до (2.4) і (2.5) доти, поки різниця між значеннями, отриманими на сусідніх ітераціях, не стане менше заданої точності.

Приклад 2.1. Розподілення температури на тонкій пластині прямокутної форми (рисунок 2.2) описується рівнянням Лапласа . Знайти значення температури . Розміри й граничні умови вказані в таблиці 2.1.

Розв'язок.

Оберемо кроки сітки по та по рівними: . В цьому випадку маємо 6 внутрішніх вузлів, в яких треба обчислити температуру (рис. 2.3). Назвемо сіткову функцію .

Рисунок 2.2 – Пластина прикладу 2.1.

Таблиця 2.1 ,мм   ,мм   , °З   , °З 1+ , °З   , °З 1+

Побудуємо різницеву схему:

,

з урахуванням рівності кроків по й () маємо:

.

Рисунок 2.3 – Сітка для прикладу 2.1.

Із граничних умов маємо:

, , , , ;

, ; , ; , , , , .

Запишемо отриману систему – (2.4).

(2.6)

1. Задамо величинам у внутрішніх вузлах сітки чисельні значення, що дорівнюють середньому значенню всіх граничних умов: .

2. Перерахуємо значення у внутрішніх точках, тобто одержимо перше наближення розв'язку системи за методом Зейделя:

;

;

;

;

;

.

3. Підрахуємо друге наближення:

;

;

;

;

;

.

Запишемо матрицю другого наближення:

.

Повторюємо ітерації доти, поки значення у вузлах сітки будуть відрізнятися на двох сусідніх ітераціях більше, ніж бажана точність розв'язку системи . Нехай , тоді на шостій ітерації можна вважати, що задана точність розв'язку системи досягнута. Після шостої ітерації матриця розв'язку дорівнює

що можна вважати наближеним розв'язком задачі.