Квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь Вольтерра

Оскільки лінійні інтегральні рівняння Вольтера мають єдиний безперервний розв'язок при будь-яких значеннях параметра , при знаходженні чисельного розв'язку рівняння Вольтерра другого роду можна покласти .

Враховуючи, що рівняння Вольтера можна вважати рівнянням Фредгольма: ,

с ядром . (5.13)

Для знаходження розв'язку розглянутого рівняння скористаємося результатами підрозділу 5.3.

Введемо в розгляд часову сітку , що складається з вузлів, і виберемо конкретну квадратурну формулу з вагами , тоді наближений розв'язок інтегрального рівняння має вид (7.9). Складемо СЛАУ, аналогічну системі (7.10), яка в силу властивостей ядра інтегрального рівняння (7.13) вироджується в трикутну:

(5.14)

З (5.14) видно, що невідомі значення знаходяться послідовними обчисленнями по формулах:

, ,.

 

Приклад 5.2. Інтегральне рівняння

Має точний розв'язок .

Знайдемо чисельний розв'язок цього рівняння, використовуючи метод трапецій, і порівняємо його з точним.

 

a=0; b=2.5; h=0.05; n=(b-a)/h+1; x(1)=a; y(1)=f(a);

for i=2:n

x(i)=a+(i-1)*h;

g=f(x(i));

for j=1:i-1

if (j==1) c=0.5; else c=1; end;

g=g+h*c*K(x(i),x(j))*y(j);

end;

y(i)=g/(1-h/2*K(x(i),x(i)));

ty(i)=exp(x(i))*(cos(exp(x(i)))-p(x(i))*sin(exp(x(i))));

end; plot(x,y,x,ty,'.'); grid on;

Функції:

function y=f(x)

y=(1-x*exp(2*x))*cos(1)-exp(2*x)*sin(1);

 

function z=K(x,t)

z=1-(x-t)*exp(2*x);

Рисунок 5.1 – Точний й наближений розв'язок прикладу 5.2.

Завдання до лабораторної роботи

Завдання 5.1. Методом послідовних наближень (вручну й у пакеті MATLAB) і квадратурним методом знайти розв'язок рівнянь Фредгольма 2-го роду, попередньо переконавшись, що умова (7.6) виконана. Розрахунки квадратурним методом провести з двома різними кроками і отримати оцінку погрішності за правилом Рунге.

1. . 2. .

3. .

4. . 5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

Завдання 5.2. Методом послідовних наближень (вручну й у пакеті MATLAB) і квадратурним методом знайти розв'язок рівнянь Вольтерра 2-го роду.

1. , . 2. , .

3. , . 4. , .

5. , . 6. , .

7. , . 8. , .

9. , .

10. , .

 

5.8 Контрольні питання

1. Яке рівняння називається інтегральним рівнянням?
2. Запишіть інтегральні рівняння Фредгольма й Вольтера 2 роду.
3. Чому інтегральні рівняння першого роду вимагають спеціальних методів розв'язку?
4. Які методи розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма ви знаєте?
5. Опишіть квадратурний метод розв'язку інтегральних рівнянь.

МЕТОДИ АПРОКСИМУЮЧИХ ФУНКЦІЙ РОЗВ'ЯЗКУ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Загальний підхід

Розв'язок інтегрального рівняння

будемо шукати у вигляді розкладання в ряд по базисних функціях , які є частиною повної системи лінійно незалежних функцій:

, (6.1)

тут - невідомі параметри.

Збіжність наближеного розв'язку до точного при забезпечується вибором системи координатних функцій.

Підставимо в рівняння й запишемо нев’язку:

(6.2)

Для визначення коефіцієнтів існує кілька методів.

Метод колокацій

Виберемо вузли й зажадаємо, щоб нев’язка дорівнювала нулю у вузлах. В результаті одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів .

Розв'язавши систему, одержуємо шукані коефіцієнти .

Метод найменших квадратів

Виберемо вузли () і зажадаємо, щоб коефіцієнти , були розв'язком такої задачі:

Відомо, що мінімум досягається в точці, у якій частинні похідні по , обертаються в 0. Одержуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Підставимо в останнє рівняння вираз для нев’язки (8.2) і значення її похідної. Одержимо таку систему:

,

де

Система є лінійною алгебраїчною системою відносно невідомих коефіцієнтів , і має єдиний розв'язок, що обумовлено вибором координатних функцій. Розв'язавши систему, одержуємо рішення інтегрального рівняння у вигляді (8.1).

 

Метод Гальоркіна

Відомо [6,8], що мінімум нев’язки досягається тоді, коли нев’язка ортогональна координатним функціям. Звідси одержуємо систему рівнянь для невідомих коефіцієнтів розкладання (6.1):

.

Підставивши вираження для нев’язки (8.2), одержимо

Приведемо останню систему до стандартного вигляду:

Позначимо

,

,

і запишемо систему відносно : .

Система є лінійною алгебраїчною системою і має єдиний розв'язок, що обумовлено вибором координатних функцій. Розв'язавши систему, одержуємо рішення інтегрального рівняння у вигляді (6.1).

Приклад 6.1. Методом Гальоркіна розв'язати інтегральне рівняння

.

Рішення. Оберемо такі координатні функції:

.

Тобто будемо шукати рішення такого виду:

Обчислемо нев’язку

Згідно методу Гальоркіна запишемо умови ортогональності невязки до координатних функцій:

Обчислимо інтеграли і отримаємо таку систему рівнянь:

,

розвязком якої є значення .

Таким чином, ми одержали наближене рішення інтегрального рівняння: . Переконайтесь самостійно, що це рішення є точним.

Перевіримо цей результат, використовуючи Symbolic Tools системи MatLab.

% метод апроксимуючих функцій розв'язання інтегрального % рівняння

syms x t fi f K;

% Задаємо праву частину рівняння та координатні функції

fun=1;n=3;a=-1; b=1;lambda=1;

fi(1)=1; fi(2)=x; fi(3)=x^2; f(2)=t; f(3)=t^2; f(1)=1;

K=x*t+x*x;

% Обчислюємо коефіцієнти системи лінійних рівнянь

for k=1:n

for i=1:n

aa=int(fi(i)*fi(k),'x',a,b);

ab=int(K*f(i),'t',a,b);

ak=-lambda*int(fi(k)*ab,'x',a,b);

A(k,i)=aa+ak;

g(k,i)=eval(A(k,i));

end;

B(k)=int(fi(k)*fun,'x',a,b);

h(k)=eval(B(k));

end;

A

B

c=g\h'

% розв’язуємо систему рівнянь

% Будуємо функцію - наближений розв'язок задачі

u=c(1)*fi(1);

for i=2:n

u=u+c(i)*fi(i); % розв'язок у символьному вигляді

end;

u

% Обчислимо таблицю значень функції розв'язку

hx=0.01;

for i=1:100

x=(i-1)*hx;

y(i)=x;

zz(i)=eval(u);

end;

plot(y,zz,'.') % будуємо графік

grid on

Результат роботи програми (порівняйте з ручним розрахунком!):

A = [ 2/3, 0, 2/9]

[ 0, 2/9, 0 ]

[ -2/15, 0, 2/15]

B = [ 2, 0, 2/3]

c = 1.0000 0 6.0000

u = 6*x^2 + 1

Рисунок 6.1 – Графік рішення прикладу 6.1