Задача для самостійного розв'язку на практиці

Задача 4.1. Знайти розв'язок крайової задачі для рівняння

, ,

с початковими умовами: ,

і граничними умовами: , .

Завдання до лабораторної роботи

Завдання 4.1. Використовуючи метод сіток, розв'язати змішану задачу для рівняння коливання струни з початковими умовами , , , і крайовими умовами , . Розв'язок виконати із кроком ; . Знайти наближений розв'язок задачі за допомогою явної різницевої схеми. Виконати розрахунки з половинним кроком за часом і довжині струни й оцінити точність отриманого розв'язку.

Завдання 4.2. Знайти наближений розв'язок задачі завдання 4.1 за допомогою неявної різницевої схеми. Порівняти отримані результати.

Варіанти індивідуальних завдань

1. , , , .	2. , , , .	3. , ,
4. , ,	5. ,	6. , ,
7. , ,	8. , ,	9. , ,
10. ,	11. ,	12. , ,
13. , , ,	14. , ,	15. , ,
16. , , .	17. , , ,	18. , , ,
19. , ,	20. , , , .

Завдання 4.3. Коливання тонкої пластини, якщо не враховувати втрати на тертя, описуються нормованим хвильовим рівнянням виду: , де – деформація пластини, – координати, – час. Розрахуйте коливання при заданих у таблиці розмірах і , граничних , , , і початкових і умовах. Використовувати PDE Tools пакета MATLAB.

Варіанти індивідуальних завдань

Параметр	Варіант
Граничні умови

 

Рисунок 4.7 – Область розв'язку завдання 4.3

4.6 Контрольні питання

Які особливості чисельного розв'язку диференціальних рівнянь гіперболічного типу?

3. Які види сіток використовуються в методі кінцевих різниць? Яким чином будують на цих сітках різницеві апроксимації й відповідні їм шаблони?

4. Як задаються граничні умови? З яких міркувань вибирають крок сітки в методі кінцевих різниць?

5. Яким чином можна оцінити погрішність результату чисельного розв'язку?

6. Що таке стійкість різницевої схеми? Приведіть приклади стійких і нестійких різницевих схем.

7. У яких випадках може виникати нестійкість розв'язку задачі? Як впливає вибір параметрів сітки на стійкість?

8. Що розуміють під збіжністю процесу розв'язку задачі?

9. Назвіть три основних джерела погрішностей при розв'язку задач на ЕОМ, їх природу й способи зменшення.

 

Методи розв'язку інтегральних рівнянь

Загальні відомості про інтегральні рівняння

Визначення 1. Інтегральним рівнянням називається рівняння щодо невідомої функції, яка знаходиться під знаком інтеграла.

Визначення 2. Лінійним інтегральним рівнянням Фредгольма називаються рівняння виду

(5.1)

(рівняння 2-го роду) і

(5.2)

(рівняння 1-го роду). В (5.1) і (5.2) – невідома функція, а ядро й вільний член передбачаються заданими відповідно у квадраті й на відрізку .

Будемо припускати, що межі інтегрування й в (5.1) – кінцеві числа, а функції й або безперервні у своїй області інтегрування, або задовольняють умовам:

, (5.3)

. (5.4)

Якщо всюди на , то рівняння (5.1) називається однорідним, а якщо ні, то, воно називається неоднорідним. Розв'язком рівняння (5.1) будемо називати функцію класу , що обертає це рівняння в тотожність відносно .

Звичайно розглядають сімейство рівнянь

, (5.5)

залежних від числового параметра .

Метод послідовних наближень розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма

Розглянемо випадок, коли число задовольняє умові

(5.6)

За умови (5.6) рівняння (5.5) має єдиний розв'язок, який може бути знайдений методом послідовних наближень.

Перепишемо рівняння (5.5) у вигляді:

і, вибравши довільне нульове наближення , побудуємо послідовність , , за формулою:

, .

Якщо число задовольняє умові (5.6), то при послідовність сходиться до точного розв'язку .

Приклад 5.1. Методом послідовних наближень розв'язати рівняння .

Розв'язок. Покладемо й . Маємо

і, отже, умова виконана. Прийнявши , послідовно знаходимо:

,

.

У загальному випадку

.

Звідки

.

Точним розв'язком рівняння є функція , у чому можна переконатися безпосередньою перевіркою.

При чисельній реалізації вважається, що послідовність функцій сходиться до розв'язку рівняння (5.5) при , якщо , де .

Погрішність -го наближення визначається нерівністю:

,

де

, , .

Кількість кроків (наближень) суттєво залежить від вибору початкового наближення, тобто від близькості його до шуканого розв'язку.