Лекция 3. Свойства определителей. Обратная матрица

 

Оглавление

 

§6. Свойства определителей

§7. Обратная матрица

Невырожденная и вырожденная матрицы

Обратная матрица

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы по формуле

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

 

 

§ 6. Свойства определителей

 

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

 

Пример.

Следствие 1. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

 

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, ее определитель умножится на это число.

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель какой-либо строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить лишь общий множитель всех элементов.

 

3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель матрицы не измениться, если к какой либо строке (столбцу) прибавить другую строку 9столбец), умноженную на число.

6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е.

Замечание. Даже если А ∙ В ≠ В ∙ А, .

 

Итак, используя свойства определителей, можно всякий определитель свести к треугольному виду. Рассмотрим этот процесс на примере.

 

Пример. Вычислить определитель

Решение.

§ 7. Обратная матрица

 

Для каждого числа а ¹ 0 существует обратное число а ^–1 такое, что а · а ^–1 = 1. Для квадратных матриц вводиться аналогичное понятие.

Рассмотрим квадратную матрицу

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица А ^–1 называется обратной для квадратной матрицы А, если их произведение как слева, так и справа равное единичной матрице:

А · А ^–1 = А ^–1· А = Е.

В отличие от чисел, не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденная.

Замечание. Если обратная матрица существует, то она единственна.

 

Обратная матрица может быть вычислена по формуле:

где А_ij – алгебраические дополнения элементов матрицы А.