ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Со специальной правой частью

Вид правой части	Вид частного решения	Пояснения
		k = 0, если q ¹ 0 k = 1, если q = 0, p ¹ 0 k = 2, если q = 0, p = 0
	,	п = 0, если k 1 ¹ а, k 2 ¹ а, п = 1, если k 1 = а, k 2 ¹ а (k 1 ¹ а, k 2 = а) п = 2, если k 1 = k 2 = а
где А, В, b – числа, b ¹ 0		s = 1, если p = 0, q > 0, s = 0, во всех других случаях
где Сi – подбираемые коэффициенты

 

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение.

1. Уравнение уже приведено к нужному виду.

2. Соответствующее ЛОДУ имеет вид:

Его характеристическое уравнение:

, .

3. По таблице 1 находим вид общего решения ЛОДУ:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

4. Правая часть исходного уравнения – многочлен второй степени, тогда согласно Таблице 2, частное решение ЛНДУ ищем в виде:

.

Параметр k = 0, т.к. q = 3 ¹ 0, следовательно,

.

5. Чтобы найти числа С ₀, С ₁ и С ₂, найдем производные от нашего у _ч.н. и подставим их в исходное уравнение:

,

.

Соответствующие коэффициенты в правой и левой частях равенства должны быть равны, следовательно, можно записать систему уравнений:

Решая эту систему, получим С ₂ = 0,5; С ₁ = – 1,5; С ₀ = 1,75.

Теперь, зная значения коэффициентов С ₀, С ₁ и С ₂, подставим их в уравнение , получим:

.

6. Искомое общее решение ЛНДУ имеет вид:

.

 

В заключение приведем одно замечание, которое часто применяется при решении дифференциальных уравнений:

Если правая часть уравнения является суммой некоторых функций: , то частное решение этого уравнения есть сумма частных решений уравнений

, где i =1, 2, … п,

т.е.

.

Приложение 1

Вывод формул общего решения

ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Случай 1. Дискриминант больше нуля, следовательно, корни k ₁ и k ₂ действительные и различные:

k ₁ ¹ k ₂

В этом случае частными решениями ЛОДУ являются функции и . Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

 

Случай 2. Дискриминант равен нулю, следовательно, корни k ₁ и k ₂ действительные и равные:

k ₁ = k ₂ = k

В этом случае имеем лишь одно частное решение , а для нахождения общего решения ЛОДУ нам необходимо два различных частных решения. Как найти второе?

Покажем, что наряду с частным решением ЛОДУ будет и .

Действительно, подставим функцию в исходное уравнение , найдя предварительно ее производные. Имеем:

ß

.

Но k – это корень характеристического уравнения, следовательно, ; кроме того, по теореме Виета или , т.е. . Тогда

.

Это значит, что функция является решением ЛОДУ.

Таким образом, у нас есть два различных частных решения ЛОДУ: и , следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

 

Случай 3. Дискриминант меньше нуля. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, корни квадратного уравнения в этом случае – комплексные числа.

Комплексные числа – особое числовое множество, в котором можно извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.

В этом множестве есть элемент i, который называется мнимая единица и обладает свойством: , откуда .

При таких условиях можно извлекать корень из любого отрицательного числа: .

Любое комплексное число можно представить в виде

,

где a и b – действительные числа. При этом a называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа.

Нетрудно доказать, что привычное нам множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С: R Ì С.

Но вернемся к нашему ЛОДУ, для которого характеристическое уравнение имеет отрицательный дискриминант: .

Найдем корни характеристического уравнения :

Таким образом, характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня и ,

где , .

Следовательно, частными решениями исходного ЛОДУ будут функции и .

К сожалению, эти частные решения содержат мнимую единицу, что не очень хорошо, т.к. мы должны найти решение ЛОДУ на множестве действительных чисел. Попробуем преобразовать наши частные решения так, чтобы они не содержали мнимую единицу.

Воспользуемся формулами Эйлера:

, .

Тогда

,

.

Теперь мы можем найти два действительных частных решения:

и .

В итоге общее решение ЛОДУ имеет вид

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные,

, .

 

Приложение 2

Раздаточный материал

 

ЛОДУ: , где p и q – некоторые действительные числа.

 

Характеристическое уравнение:

 

Таблица возможных общих решений