Лекция 1. Матрицы и действия с ними

 

Оглавление

 

Введение

§1. Основные определения. Виды матриц

Определение матрицы m ´ n

Элементы матрицы

Квадратная матрица

Порядок матрицы

Матрица-строка

Матрица-столбец

Нулевая матрица

Главная диагональ матрицы

Треугольная матрица

Диагональная матрица

Единичная матрица

§2. Действия над матрицами

1. Равенство матриц

2. Транспонирование

3. Сложение матриц

4. Умножение матрицы на число

5. Умножение матриц

 

§ 1. Определение матрицы. Виды матриц

 

Матрицей размером m × n называется совокупность m · n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.

Этутаблицу обычно заключают в круглые скобки.

Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m × n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a ₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной матрицей. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или стрóковой), а матрица, у которой всего один столбец , матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю матрицы называют совокупность ее элементов, у которых индексы состоят из одинаковых чисел: . Например, а ₁₁, а ₂₂, а ₃₃ и т.д.

Для квадратной матрицы главная диагональ идет из левого верхнего в правый нижний угол.

Матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например,

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

 

§ 2. Действия над матрицами

 

1. Равенство матриц.

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij.

Так если

и

, то A = B, если a 11 = b 11, a 12 = b 12,

a ₂₁ = b ₂₁ и a ₂₂ = b ₂₂.

 

2. Транспонирование.

Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).

Так если

, то

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают А'.

Связь между матрицей A и её транспонированной матрицей можно записать в виде .

Например. Найти матрицу, транспонированную данной.

 

3. Сложение матриц

Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Таким образом, суммой двух матриц одинаковой размерности A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

Примеры.

а) Найти сумму матриц

б) Следующую сумму найти нельзя, т.к. размеры матриц различны.

в) .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам:

1) коммутативному: A + B = B + A;

2) ассоциативному: (A+B) + C = A + (B+C).

 

4. Умножение матрицы на число

Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица С, которая определяется по правилу

.

Для любых чисел a и b и для любых матриц A и B выполняются равенства:

1)

2)

3) .

Примеры.

а)

б) Найти матрицу 2 A – B, если

, .

.

в) Найти C = –3 A + 4 B, если

.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

 

5. Умножение матриц.

Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц-сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).

Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c ₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m × n на матрицу B = (b_ij) размера n × p, то получим матрицу C размера m × p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

1) Пусть

Найти элементы c ₁₂, c ₂₃ и c ₂₁ матрицы C.

2) Найти произведение матриц.

а)
б)
в)	Умножить матрицы
нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

3) Пусть

Найти АВ и ВА.

4) Пусть

Найти АВ и ВА.

, B · A – не имеет смысла.

Эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, при умножении матрицы нельзя переставлять местами друг с другом, т.е. A ∙ B ≠ B ∙ A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Таким образом, умножение матриц

1) НЕ коммутативно: A ∙ B ≠ B ∙ A;

Можно проверить, что умножение матриц:

2) ассоциативно: (AB) C = A (BC);

3) дистрибутивно: (A + B) C = AC + BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём

AE = EA = A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, для матриц

 

 

Линейная алгебра