Лекция 2. Размерность и базис. Евклидово пространство

 

Оглавление

 

§3. Размерность и базис векторного пространства

Линейная комбинация векторов

Тривиальная и нетривиальная линейная комбинация

Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов

п -мерное векторное пространство

Размерность векторного пространства

Базис

Разложение вектора по базису

§4. Переход к новому базису

Матрица перехода от старого базиса к новому

Координаты вектора в новом базисе

§5. Евклидово пространство

Скалярное произведение

Евклидово пространство

Длина (норма) вектора

Свойства длины вектора

Угол между векторами

Ортогональные векторы

Ортонормированный базис

 

§ 3. Размерность и базис векторного пространства

 

Рассмотрим некоторое векторное пространство (V, Å, ∘) над полем Р. Пусть – некоторые элементы множества V, т.е. векторы.

Линейной комбинацией векторов называется любой вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные элементы поля Р (т.е. на скаляры) :

.

Если все скаляры равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), и .

Если хотя бы один скаляр отличен от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной.

Векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна :

.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .

 

Пример. Рассмотрим множество упорядоченных наборов четверок действительных чисел – это векторное пространство над полем действительных чисел. Задание: выяснить, являются ли векторы , и линейно зависимыми.

Решение.

Составим линейную комбинацию этих векторов: , где – неизвестные числа. Потребуем, чтобы эта линейная комбинация была равна нулевому вектору: .

В этом равенстве запишем векторы в виде столбцов чисел:

Если найдутся такие числа , при которых это равенство выполняется, и хотя бы одно из чисел не равно нулю, значит это нетривиальная линейная комбинация и векторы линейно зависимы.

Выполним действия:

 

Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений:

Решая ее, получим:

Ранги расширенной и основной матриц системы равны и меньше числа неизвестных , следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Пусть , тогда и .

Итак, для данных векторов существует нетривиальная линейная комбинация, например при , которая равна нулевому вектору, значит, эти векторы линейно зависимы.

 

Отметим некоторые свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов:

1. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

2. Если среди векторов имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы.

3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

 

Векторное пространство V называется п -мерным векторным пространством, если в нем найдется п линейно независимых векторов, и любой набор из (п + 1) векторов является линейно зависимым.

Число п называется размерностью векторного пространства, и обозначается dim(V) от английского «dimension» – размерность (измерение, размер, габарит, величина, протяженность и т.д.).

Совокупность п линейно независимых векторов п -мерного векторного пространства называется базисом.

 

(*)

Теорема (о разложении вектора по базису): Каждый вектор векторного пространства можно представить (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации векторов базиса:

.

 

Формула (*) называется разложением вектора по базису , а числа – координатами вектора в этом базисе.

В векторном пространстве может быть более одного или даже бесконечно много базисов. В каждом новом базисе один и тот же вектор будет иметь разные координаты.

 

§ 4. Переход к новому базису

 

В линейной алгебре часто встает задача нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе.

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем Р. Пусть в этом пространстве есть два базиса: старый и новый .

Задача: найти координаты вектора в новом базисе.

Пусть векторы нового базиса в старом базисе имеют разложение:

,

Выпишем координаты векторов в матрицу не строками, как они записаны в системе, а столбцами:

Полученная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Матрица перехода связывает координаты любого вектора в старом и новом базисе следующим соотношением:

,

где - искомые координаты вектора в новом базисе.

 

Таким образом, задача нахождения координат вектора в новом базисе сводится к решению матричного уравнения: , где Х – матрица-столбец координат вектора в старом базисе, А – матрица перехода от старого базиса к новому, Х ^* – искомая матрица-столбец координат вектора в новом базисе. Из матричного уравнения получим:

.

Итак, координаты вектора в новом базисе находятся из равенства:

.

 

Пример. В некотором базисе даны разложения векторов:

, , ,

.

Найти координаты вектора в базисе .

Решение.

1. Выпишем матрицу перехода к новому базису, т.е. координаты векторов в старом базисе запишем столбцами:

2. Найдем матрицу А ^–1:

3. Выполним умножение , где – координаты вектора :

 

 

Ответ: .

 

§ 5. Евклидово пространство

 

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем действительных чисел R. Пусть – некоторый базис этого пространства.

Введем в этом векторном пространстве метрику, т.е. определим способ измерения длин и углов. Для этого определим понятие скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов и называется число

,

где и – координаты векторов и в базисе .

Т.е. мы определили еще одну бинарную операцию: V´V® R.

Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством, если выполняются равенства:

1). ;

2). ;

3). ;

4). , причем .

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из его скалярного квадрата:

.

 

Имеют место следующие свойства длины вектора:

1. ;

2. , где α – действительное число;

3. (неравенство треугольника).

 

Введя понятие длины вектора, можно определить угол между двумя векторами.

Угол φ между векторами и определяется равенством: .

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Исходя из определения угла между векторами, видно, угол между двумя ненулевыми ортогональными векторами равен 90°.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице.

Во всяком п -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

 

Аналитическая геометрия