Лекция 2. Решение различных видов дифференциальных уравнений первого порядка

 

Оглавление

 

§ 4. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение

Метод интегрирования

Пример 1

Пример 2

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное однородное уравнение

Решение

Пример 3

§ 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка

Метод решения

Пример 4

§ 4. Уравнения с разделяющимися переменными

 

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

.

Правая часть этого уравнения представляет собой произведение двух множителей, каждый из которых является функцией только одного аргумента.

Например, уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, т.к. в нем можно принять и .

Точно так же, уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, т.к. его можно привести к виду или , где и .

Напротив, уравнение нельзя представить в виде произведения двух множителей , следовательно, оно не является уравнением с разделяющимися переменными.

Метод интегрирования уравнения с разделяющимися переменными заключается в следующем.

1. Приведем дифференциальное уравнение первого порядка к виду:

или .

2. Умножим обе части уравнения на dx и поделим на , получим:

.

3. Интегрируя, получим:

.

Полученное выражение представляет собой общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Разрешая уравнение относительно производной, получим или .

Умножим обе части уравнения на dx и поделим на у: .

Интегрируя, получим: или , где С ₁ – произвольная постоянная.

Для упрощения полученного решения воспользуемся часто применяемым приемом: положим (С ₂ > 0). Тогда

или

Полагая , окончательно получим

,

где С – произвольная постоянная.

Пусть требуется теперь из найденного общего решения выделить частное решение, удовлетворяющее условию . Заменяя в общем интеграле переменные х и у начальными условиями, получим: , откуда С = 2.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

Пример 2. Приведем решение задачи об остывании тела (см. Задачу 1 из Лекции 1). Ранее, составляя математическую модель задачи, мы пришли к необходимости поиска частного решение дифференциального уравнения , при условиях Т (0) = 100, Т (10) = 60.

Найдем общее решение уравнения. Умножим обе части уравнения на dt и поделим на (Т – 10):

Проинтегрируем полученное равенство:

 

Получили общее решение дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения, воспользуемся начальным условием Т (0) = 100:

, откуда .

Подставив полученное значение в формулу общего решения, получим частное решение:

 

Полученное частное решение зависит от коэффициента пропорциональности k. В условии задачи он не определен, но его можно найти, если воспользоваться вторым начальным условием Т (10) = 60:

В результате, зависимость температуры от времени в заданных условиях имеет вид:

.

Теперь можно определить, через сколько минут температура тела станет равной 20 градусам, решив уравнение:

Таким образом, температура тела станет равной 20 градусам примерно через 37,4 минут.

 

 

§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде

,

где P (x) и Q (x) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Название «линейное» не случайно, т.к. здесь и искомая функция, и ее производная находятся в первой степени (сравните с уравнением прямой линии: ).

Например, уравнения и будут линейными, а уравнение не является линейным.

Если Q (x) º 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.

Решение линейного дифференциального уравнение первого порядка ищут в виде произведения двух функций от х:

или

.

Полученные выражения подставим в уравнение , получим:

.

Перенесем первое слагаемое правой части в левую часть уравнения, сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общий множитель:

(*)

Выберем функцию v такой, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е.

.

(**)

В этом случае дифференциальное уравнение примет вид:

.

Далее возвращаемся к уравнению (*) и, решая его, как уравнение с разделяющимися переменными, находим функцию v:

Для решения уравнения достаточно найти какое-нибудь частное решение уравнение (**), поэтому выберем С ₁ = 0, тогда

Подставим найденное значение функции v = v * в уравнение (2.2) и решим его:

.

Возвращаясь к формуле и подставляя в нее найденные значения и , получим ответ:

, где .

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнение первого на примере.

Пример. Решить уравнение .

Решение.

Полагаем или , тогда . Уравнение примет вид:

.

Группируем второе и третье слагаемые левой части уравнения и выносим за скобки общий множитель:

(***)

.

Пусть , тогда

.

Полагая С ₁ = 0, получим: .

Учитывая, что , подставим полученное значение в уравнение (***):

.

Окончательно имеем или

 

§ 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

.

Например, уравнения и являются однородными. Уравнение также однородное, т.к. деля числитель и знаменатель правой части на х ³, получим .

В однородном уравнении переменные вообще говоря не разделяются. Однако оно легко может быть преобразовано в уравнения с разделяющимися переменными. В этом заключается метод решения таких уравнений.

Для разделения переменных введем новую функцию z, положив . Тогда y = x·z, следовательно, . В этом случае однородное уравнение примет вид:

.

В полученном уравнении переменные разделяются: . Предполагая, что , получим:

.

Найдя интеграл в левой части полученного уравнения и возвращаясь к первоначальной переменной у, получим общее решение однородного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Разрешим уравнение относительно производной:

Числитель и знаменатель правой части уравнения поделим на х ², получим:

Делая подстановку , получим и , следовательно,

В полученном уравнении разделим переменные и найдем общее решение:

Положим , тогда . Возвращаясь к исходной переменной, произведем обратную замену и получим:

 

Получили общий интеграл уравнения.

 

Существует и другие методы решения различных уравнений первого порядка, но мы остановимся на рассмотренных выше. Использование этих методов для интегрирования уравнений будет отработано на практическом занятии.

Дифференциальные уравнения