Лекция 4. Решение лоду и лнду второго порядка С постоянными коэффициентами

 

Оглавление

 

§ 9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение:

Случай1. Дискриминант больше нуля

Случай2. Дискриминант равен нулю

Случай3. Дискриминант меньше нуля

Алгоритм нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

§ 10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Метод вариации постоянных

Метод решения ЛНДУ со специальной правой частью

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

1. Функция r (x) – многочлен степени т

2. Функция r (x) – произведение числа на показательную функцию

3. Функция r (x) – сумма тригонометрических функций

Алгоритм нахождения общего решения ЛНДУ со специальной правой частью

Приложение

§ 9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами, если оно имеет вид:

,

где p и q – некоторые действительные числа.

Для нахождения общего решения ЛОДУ достаточно найти два его различных частных решения и . Тогда общее решение ЛОДУ будет иметь вид

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

Леонард Эйлер предложил искать частные решения ЛОДУ в виде

,

где k – некоторое число.

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение , получим:

,

Полученное уравнение называется характеристическим уравнением ЛОДУ. Для его составления достаточно в исходном уравнении заменить у", у' и у соответственно на k ², k и 1:

Решив характеристическое уравнение, т.е. найдя корни k ₁ и k ₂,мы найдем и частные решения исходного ЛОДУ.

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, его корни находятся через дискриминант

.

При этом возможны следующие три случая^[2].

 

Случай 1. Дискриминант больше нуля, следовательно, корни k ₁ и k ₂ действительные и различные:

k ₁ ¹ k ₂

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

 

Случай 2. Дискриминант равен нулю, следовательно, корни k ₁ и k ₂ действительные и равные:

k ₁ = k ₂ = k

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные.

 

Случай 3. Дискриминант меньше нуля. В этом случае уравнение не имеет действительных корней:

, корней нет.

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные независимые постоянные,

, .

 

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами сводится к нахождению корней характеристического уравнения и использованию формул общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

 

Алгоритм нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. Привести уравнение к виду , где p и q – некоторые действительные числа.

2. Составить характеристическое уравнение .

3. Найти дискриминант характеристического уравнения.

4. Используя формулы (см. Таблицу 1), в зависимости от знака дискриминанта записать общее решение.

Таблица 1

Таблица возможных общих решений