Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка.

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению (ЛНДУ) соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) (при Q(x) = 0). Дифференциальное уравнение являетсяуравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его.

При y=0 дифференциальное уравнение обращается в тождество, поэтому y=0 также является решением (этому случаю соответствует решение при C=0). Таким образом, можно утверждать, что - общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

Теперь мы знаем, что решение линейного однородного дифференциального уравнения . Для нахождения общего решения соответствующего неоднородного уравнения варьируем постоянную С, то есть, считаем С функцией аргумента x, а не константой. Другими словами, принимаем общим решением ЛНДУ.

Тогда, если подставить в дифференциальное уравнение , то оно должно обратиться в тождество

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:

Производная сложной функции равна . А если вспомнить свойства неопределенного интеграла, то .

Таким образом, возможен следующий переход: .

Полученное уравнение есть простейшее дифференицальное уравнение первого порядка. Решив его, мы определим функцию C(x), что позволит записать решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде .

Подведем итог.

Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка состоит из трех этапов:

1. сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ в виде ,

2. далее варьируется произвольная постоянная С, то есть, заменяется функцией С(x),

3. в заключении функция подставляется в исходное дифференциальное уравнение, откуда определяется C(x) и записывается ответ.

 

Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами

где p_i, i=1,n, - числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.

Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у=е^kх, где k - постоянное число.

Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида

Уравнение (4.7) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k₁, k₂,..., k_n.

Замечание. Не все из корней уравнения (4.7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k-3)²=0 имеет два равных корня: k1=k2=3. В этом случае говорят, что корень один (k=3) и имеет кратность mk=2. Если кратность корня равна единице: mk=1, его называют простым.

Случай 1. Все корни уравнения (4.7) действительны и просты (различны). Тогда функции являются частными решениями уравнения (4.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (4.6) записывается в виде

Пример 4.3. Найти общее решение уравнения

Решение: Характеристическое уравнение k³ - 2k² - К+2=0 имеет корни k₁=-1, k₂=1, k₃=2. Следовательно, общее решение данного уравнения.

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность м > 1). Тогда каждому простому корню К соответствует одно частное решение вида е^кх, а каждому корню k кратности m>1 соответствует m частных решений: е^kх, хе^kх, х²е^kx,..., х^m-1е^kх.

Пример 4.4. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни k₁=-2, k₂=1, k₃=1, k₄=1. Следовательно,

- общее решение уравнения.

Случай 3. Среди корней уравнения (4.7) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре a±β i простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения е^ах cosβx и е^ах sinβx, а каждой паре а ± β_i корней кратности m>1 соответствуют 2m частных решений вида

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

Пример 4.5. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни Следовательно,

- общее решение уравнения.