Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ду 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’_y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀; y₀), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀.

ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.

 

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)

или уравнение вида (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделяем переменные:

.

Интегрируя, получаем

Далее из уравнений и находим x=1, y=-1. Эти решения – частные решения.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.

Решение.

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2), хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: или или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1)

Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y)с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой u(x,y)=C, где C − произвольная постоянная. Необходимое и достаточное условие Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D.Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: ∂Q∂x=∂P∂y. Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие: ∂Q∂x=∂P∂y. 2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y): {∂u∂x=P(x,y)∂u∂y=Q(x,y). 3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение: ∂u∂y=∂∂y[∫P(x,y)dx+φ(y)]=Q(x,y). Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y): φ′(y)=Q(x,y)−∂∂y(∫P(x,y)dx). 5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y): u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: u(x,y)=C. Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 2xydx+(x2+3y2)dy=0. Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: ∂Q∂x=∂∂x(x2+3y2)=2x,∂P∂y=∂∂y(2xy)=2x. Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u(x,y): {∂u∂x=2xy∂u∂y=x2+3y2. Интегрируя первое уравнение по x, получаем: u(x,y)=∫2xydx=x2y+φ(y). Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение: ∂u∂y=∂∂y[x2y+φ(y)]=x2+3y2,⇒x2+φ′(y)=x2+3y2,⇒φ′(y)=3y2. Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ(y): φ(y)=∫3y2dy=y3, так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: x2y+y3=C, где C − произвольная постоянная.

9. В первом случае линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения оказываются и , а общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами оказывается:

.

Функции и в самом деле являются линейно независимыми, потому что определитель Вронского

не равен нулю для всяких действительных x при

.

Во втором случае первым частным решением уравнения есть функция . Вторым частным решением берут .

Докажем, что в самом деле можно считать частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произведем доказательство линейной независимости y₁ и y₂.

Исходя из того, что k₁ = k₀ и k₂ = k₀ являются совпадающими корнями характеристического уравнения, значит, уравнение принимает вид:

.

Следовательно, - исходное ЛОДУ.

Подставив в это уравнение увидим, что уравнение становится тождеством:

Т.о., можно легко назвать частным решением исходного уравнения.

 

Докажем то, что функции и являются линейно независимыми. Для этого нам необходимо просчитать определитель Вронского и определить, что он не равен нулю:

Вывод: линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно назвать и , и общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является:

при .

В третьем случае есть два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и . Общее решение записываем так:

.

Такие частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями и , которые соответствуют действительной и мнимой частям. Преобразовав общее решение уравнения это можно легко заметить:

,

используя формулы из теории функции комплексного переменного вида:

:

где С₃ и С₄ являются произвольными постоянными.

 

И в подведение итога, обобщим теорию:

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

10. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Теорема.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статьелинейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства .

3 Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

4 Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства .

Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

· находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные;

· варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂;

· производные функций C₁(x) и С₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) находятся при последующем интегрировании.

Подведем итог.

Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка состоит из трех этапов:

1. сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ в виде ,

2. далее варьируется произвольная постоянная С, то есть, заменяется функцией С(x),

3. в заключении функция подставляется в исходное дифференциальное уравнение, откуда определяется C(x) и записывается ответ.

 

Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами отношение (n +1)-го члена к n -му при имеет предел l, т.е., то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится, при l = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак Коши

Пусть дан знакоположительный числовой ряд. Если существует конечный предел, то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится, при l = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.

25. Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда

Теорема. Пусть - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются неравенства . Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.

 

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1<an для всех n;

2. limn→∞an=0.

Тогда знакочередующиеся ряды ∑n=1∞(−1)nan и ∑n=1∞(−1)n−1an сходятся.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция имеет производную на отрезке с концами и , то для произвольного положительного числа найдётся точка , лежащая между и , такая, что

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

30 На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:

Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

И так далее….

Совершенно очевидно, что

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

 

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

.

В данном случае :

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям ). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

31. Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

∑n=1∞anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x−x0), то есть ряд вида

∑n=1∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…,

где x0 − действительное число.

Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’_y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀; y₀), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x₀) = y₀ или y | _{x = x0} = y₀.

ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.