Абсолютная и условная сходимость

Ряд ∑n=1∞an называется абсолютно сходящимся, если ряд ∑n=1∞|an| также сходится.
Если ряд ∑n=1∞an сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд ∑n=1∞an называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

28. Рассмотрим ряды, членами которого являются не числа, а некоторые функции:

(1)

¨ Ряды вида (1) называются функциональными. Полагаем, что все функции – определены и непрерывны в одном и том же интервале (конечном или бесконечном).

Ряд (1) может для одних значений “ ” сходится, для других – расходится.

¨ Значение , при котором числовой ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда (1).

¨ Совокупность значений “”, при которых ряд (1) сходится называется областью сходимости функционального ряда (1).

Пример 1. Рассмотрим ряд: Если , то данный ряд–это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, и она имеет сумму, равную , где . Для значений данный ряд расходится. Отсюда следует, что областью сходимости данного ряда является интервал: .

Сумма функционального ряда также является некоторой функцией, зависящей от “”:

.

Так в примере 1: , причём эта сумма имеет смысл только при, т.е. в области сходимости данного функционального ряда.

По аналогии числовых рядов введём понятие “ ”–ной частичной суммы ряда (1) и “”– го остатка ряда соответственно:

, .

Если для какого–то (из области сходимости ряда) ряд сходится, то верны равенства: и .

Известно, что сумма конечного числа слагаемых, каждое из которых есть непрерывная функция, есть функция непрерывная. Производная и интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций также равна соответствующей сумме производных и интегралов от этих функций. Можно ли переносить указанные свойства на бесконечное число слагаемых? Можно, но не всегда!

29. Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

То есть, рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

Свойства

· Если есть аналитическая функция в любой точке , то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .

· Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция имеет производную на отрезке с концами и , то для произвольного положительного числа найдётся точка , лежащая между и , такая, что

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

30 На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:

Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

И так далее….

Совершенно очевидно, что

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

 

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

.

В данном случае :

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям ). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

31. Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

∑n=1∞anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x−x0), то есть ряд вида

∑n=1∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…,

где x0 − действительное число.