Приближённые методы решения СЛАУ

Лекция 1

Приближённые методы решения СЛАУ

А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и

находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х⁽⁰⁾,Х⁽¹⁾,…, Х^(К), к=1,2,…

Если любая из таких последовательностей {Х_i^(к)} сходится некоторому пределу x_i^k = c_i, ,то данный вектор с_i, является решением сист. (1)

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене х_i на с_i.

Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1) система (1) имеет единственное решение (С₁,... С_n);

2) последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

3) для приближенного равенства верны оценки (x₁^(k),…x_n^(k)) (C_1,…C_n),

а’) есливыполняется условие а), то

,

б’) если выполняется условие б), то

,

в’) если выполняется условие в), то

.

Замечания:

1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);

2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.

Б) Метод Зейделя.

Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного х_i (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х₁, х₂,…, х_i-1

Рассмотрим систему: i=1,n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)

б) <1 (коэффициенты по столбцам)

в) <1 (все коэффициенты)

 

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1,2…

 

Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ

 

В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. a_ij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

 

Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … …)

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … …)

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

Формулы прямого хода

 

c_mk=a_mk/a_kk где 1<= k<n

b_m=b_m-c_mkb_k, k<m<=n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k<=l<=n

 

Обратный ход

 

Последовательное вычисление значения неизвестных x_n, x_n-1,..., х₁ (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

 

Формулы обратного хода.

 

,откуда получаем:

для k=n,n-1,…,1.

 

Лекция 2.

Выбор шага

 

1. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким образом, чтобы выполнялось неравенство .

2. Двойной пересчёт. (Правило Рунге).

 

Лекция 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удаётся найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближённого нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения:

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или

бесконечном интервале a < x < b разбивается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности.

 

Отделение корней.

 

Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x).

Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.

 

Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1);

b) представляют уравнение (1) в виде φ(х) = g(x) и строят графики функций

у = φ(х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ(х) и у = g(x) (рис.2).

Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.

 

 

 

Рис.1. Рис.2.

Аналитический метод отделения корней основан на следующей теореме:

если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения ; если при этом

производная сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.

 

Рис.3

 

Вычисляем , выбираем отрезок и т.д. Как только будет выполнено , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять .

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2ⁿ раз. Таким образом, число итераций n в данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функции f(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.

 

Метод хорд.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).

 

 

Рис.4.

 

В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b))

Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a.

Уравнение хорды АВ:

Точка пересечения хорды с осью Х (у=0): .

 

 

Теперь корень находится на отрезке [a,c₁]. Заменяем b на с₁.

 

Рис.5. Иллюстрация метода хорд.

 

Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:

.

Продолжим и т.д., получим: (2) Условие окончания вычислений:

│с_n+1 − c_n│< ε или │f(c_n)│< ε₁.

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:

, где

 

Итак, если f (x)∙f″(x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f(x)∙f″(x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:

 

. (3)

Лекция 5.

Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть функция у = f(x,y) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы можем установить характер зависимости между величинами х и у, а также производными от у по х, т.е. написать дифференциальное уравнение.

Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и её производные.

Запись: F(x, y, y′, y′′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0 или .

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

у′-2ху³+5=0----- уравнение первого порядка,

у″+ky′-by-sinx=0------ уравнение второго порядка.

Задача Коши (для уравнения первого порядка):

у′ = f(x, y) (1) найти решение y = y(x),

удовлетворяющее начальному условию: у(х₀)=у₀. (1*).

Т.е. найти интегральную кривую, проходящую через точку М(х₀, у₀).

Если f(x,y) непрерывна в области R: |x-x₀| < a, |y-y₀| < b, то существует по меньшей мере одно решение у = у(х), определённое в некоторой окрестности: |х-х₀| < h, где h ― положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица: (2)

Где N― постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить:

Для дифференциального уравнения n-го порядка: у⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′,…,y^(n-1)) задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетворяющего начальным условиям:

у(х₀) = у₀, у′(х₀) = у′₀, …, у^(n-1)(x₀) = y^(n-1)₀ ― заданные числа.

Функция у = f(x, C₁, C₂,…, C_n), где С₁,…, С_n― произвольные постоянные, называется общим решением ОДУ или общим интегралом.

Эти постоянные можно определить с помощью начальных условий. Решение ДУ при заданных начальных условиях называется его частным решением.

Определение: задача называется краевой, если указывается интервал интегрирования [a,b] и ставятся дополнительные условия для значений функции у и её производных на концах этого интервала.

 

Процесс познания закономерностей и стремление создать детальную картину исследуемых явлений приводит к более сложной количественной оценке, отражающей эти явления, а именно к функции многих переменных, зависящих как от пространственных координат, так и от времени u = f(x₁, x₂,…, x_n, t).

Определение: Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, связывающее независимую переменные х₁, х₂, …, х_n, t, искомую функцию

u = f (х₁, х₂, …, х_n, t) и её частные производные:

.

Постановка задачи.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1).

Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x₀, x_max], удовлетворяющее начальным условиям: у(х₀) = у₀ (2).

В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х₀<x₁<…<x_n=x_max.

Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду: (3).

 

― при r = 1, а₁ = 1, b₀ = 0 методы вида (3) называются одношаговыми (чтобы найти y_i+1

требуется информация только о предыдущей точке (x_i, y_i)).

― при r > 1 и b₀ = 0 ― явными многошаговыми.

― при r > 1 и b₀ ≠ 0 ― неявными многошаговыми.

Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы (например, одношаговые).

А) Метод Эйлера.

х	x0	x1	…	хn
y	y0	y1	…	yn

Для решение Д.У.(1) с Н.У. (2) на отрезке [x₀, x_max] по методу Эйлера, таблица приближённых значений у(х) для равноотстоящих узлов:

 

строится по формулам: y_k+1 = y_k + h∙f(x_k,y_k)

x_k+1 = x_k + h, k = 0,…,n-1, h=(x_n-x₀)/n (4)

 

Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h²

(5)

Формула (4) означает, что на отрезке [x_k, x_k+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(х_k;у_k) с угловым коэффициентом f(х_k;у_k). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М₀(х₀;у₀), М₁(х₁;у₁),…, М_n(х_n;у_n). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М₀(х₀;у₀).

 

Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.

Пусть задана система ОДУ первого порядка: (6)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀, z(х₀) = z₀ (7)

 

Приближённые значения у(х_i) ≈ y_i, z(х_i) ≈ z_i вычисляются по формулам:

(8)

 

Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:

1) малой точностью (метод первого порядка точности);

2) систематическое накопление ошибок.

В) Модификации метода Эйлера.

1^ый усовершенствованный метод Эйлера.

 

Сначала вычисляют промежуточные значения:

(9)

 

А затем полагают: (10)

 

2^oй усовершенствованный метод Эйлера.

 

Сначала определяют «грубые приближения»: (11)

 

И приближённо полагают: (12)

 

Локальная погрешность на i-ом шаге: . Оценка погрешности в точке х_n может быть получена с помощью двойного просчёта (с шагом h и h/2):

(13)

С.) Метод Рунге-Кутта. (4^го порядка)

 

Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4^го порядка

(14)

 

(15)

Грубая оценка погрешности (двойной просчёт): (16)

Где у(х_i) – точное решение, у^*_i – приближённое решение с шагом h/2, y_i – … с шагом h_.

Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:

(17)

q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.

Многошаговые методы.

( используют информацию о нескольких предыдущих точках)

Д ) Алгоритм Адамса.

 

Пусть дано дифференциальное уравнение: у′ = f(x, y) (1)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀ (1*)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a,b].

Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей точками х_i = х₀ + ih (i =0, 1, …, n).

1^ый этап: стартовая процедура. Используют какой-либо одношаговый метод того же порядка точности до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.

Следовательно, определены: у₁, у₂, …, у_k-1 в точках: х₀ + h, …, x₀ + h(k-1).

2^ойэтап: рекурсивной процедуры. Определение: у_k, y_k+1,…, y_n основано на интегрировании интерполяционного многочлена Ньютона.

Рабочие формулы явных методов Адамса (2-го, 3-го, 4-го порядков).

(2)

(3)

(4)

Формулы (2)-(4) называются экстраполяционными и на практике используются в качестве прогноза.

 

Для улучшения точности или коррекции результата применяют неявные методы (используют ещё ненайденные значения: у_k+1, y_k+2,…).

(5)

(6)

(7)

Формулы (5)-(7) называются интерполяционными.

Для грубой оценки точности (двойной просчёт):

 

Лекция 1

Приближённые методы решения СЛАУ

А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и

находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х⁽⁰⁾,Х⁽¹⁾,…, Х^(К), к=1,2,…

Если любая из таких последовательностей {Х_i^(к)} сходится некоторому пределу x_i^k = c_i, ,то данный вектор с_i, является решением сист. (1)

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене х_i на с_i.

Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1) система (1) имеет единственное решение (С₁,... С_n);

2) последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

3) для приближенного равенства верны оценки (x₁^(k),…x_n^(k)) (C_1,…C_n),

а’) есливыполняется условие а), то

,

б’) если выполняется условие б), то

,

в’) если выполняется условие в), то

.

Замечания:

1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);

2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.

Б) Метод Зейделя.

Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного х_i (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х₁, х₂,…, х_i-1

Рассмотрим систему: i=1,n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)

б) <1 (коэффициенты по столбцам)

в) <1 (все коэффициенты)

 

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1,2…

 

Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ

 

В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. a_ij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

 

Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … …)

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … …)

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

Формулы прямого хода

 

c_mk=a_mk/a_kk где 1<= k<n

b_m=b_m-c_mkb_k, k<m<=n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k<=l<=n

 

Обратный ход

 

Последовательное вычисление значения неизвестных x_n, x_n-1,..., х₁ (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

 

Формулы обратного хода.

 

,откуда получаем:

для k=n,n-1,…,1.

 

Лекция 2.