Интегрирование по методу Симпсона.

 

Пусть n = 2m − чётное число, а у_i = f(x_i) (i = 0..n) − значения функции у = f(x) для равноотстоящих точек a = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b с шагом h =(b-a)/n = (b-a)/2m. На паре участков (рис.3) кривая у = f(x) заменяется параболой у = L(x), коэффициенты которой подобраны так, что она проходит через точки у₀, у₁, у₂.

Рис.3 Геометрическая интерпретация интегрирования по методу Симпсона.

 

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, составит:

.

Суммируя площади всех криволинейных трапеций, получим:

 

Где p = 6-p, p = 4. Следовательно, формула Симпсона для численного интегрирования имеет вид:

 

(9)

 

Остаточный член имеет вид:

 

(10)

 

 

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы Симпсона применяют следующие соотношения:

1. , (11)

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

2. Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

(12)

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.

 

Формулы прямоугольников и трапеций дают точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, ибо тогда f ″(x) = 0, а формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени, т. к. в этом случае f ⁽⁴⁾ = 0.

Если функция у = f(x) задана таблично и её производные найти затруднительно, то в предполо- жении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применить приближённые формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:

(*)

 

(**)

Выбор шага

 

1. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким образом, чтобы выполнялось неравенство .

2. Двойной пересчёт. (Правило Рунге).

 

Лекция 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удаётся найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближённого нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения:

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или

бесконечном интервале a < x < b разбивается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности.

 

Отделение корней.

 

Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x).

Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.

 

Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1);

b) представляют уравнение (1) в виде φ(х) = g(x) и строят графики функций

у = φ(х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ(х) и у = g(x) (рис.2).

Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.

 

 

 

Рис.1. Рис.2.

Аналитический метод отделения корней основан на следующей теореме:

если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения ; если при этом

производная сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.

 

Уточнение корней до заданной точности.

То есть сужение отрезка локализации корня [a,b]. Рассмотрим несколько методов.

Метод половинного деления (дихотомии).

 

Пусть корень отделён и принадлежит отрезку . Находим середину отрезка по формуле (рис.3). Если , то с – искомый корень.

Если , то в качестве нового отрезка изоляции корня выбираем ту половину или , на концах которой принимает значения разных знаков. Другими словами, если , то корень принадлежит отрезку , если - отрезку . Полученный отрезок снова делим пополам, находим ,

 

Рис. 3.

 

 

Рис.3

 

Вычисляем , выбираем отрезок и т.д. Как только будет выполнено , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять .

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2ⁿ раз. Таким образом, число итераций n в данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функции f(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.

 

Метод хорд.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).

 

 

Рис.4.

 

В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b))

Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a.

Уравнение хорды АВ:

Точка пересечения хорды с осью Х (у=0): .

 

 

Теперь корень находится на отрезке [a,c₁]. Заменяем b на с₁.

 

Рис.5. Иллюстрация метода хорд.

 

Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:

.

Продолжим и т.д., получим: (2) Условие окончания вычислений:

│с_n+1 − c_n│< ε или │f(c_n)│< ε₁.

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:

, где

 

Итак, если f (x)∙f″(x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f(x)∙f″(x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:

 

. (3)