Раздел 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Раздел 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. ОДУ 1-го по­рядка: определение, формы записи. Задача Коши, теорема существования и един­ственности решения задачи Коши. Изоклины. Основные классы ОДУ 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

 

Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F (x, y, y ')=0,

где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R ³, x — независимая переменная из интервала (a, b), y (x) — неизвестная функция, y '(x) — ее производная.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида

y '= f (x, y)

называют уравнениями в нормальной форме.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 – дифференциальная форма

ЗадачаКоши:

Задача отыскивания решения ДУ первого порядка P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, удовлетворяющего заданному условию называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢_y, то существует такая окрестность точки (х₀,у₀), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

 

Изоклины

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f (x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

 

 

Общая теория ЛОДУ и ЛНДУ. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля. Основная теорема о структуре общего решения ЛОДУ (ЛНДУ).

 

Определитель Вронского.

Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где C_i – постоянные коэффициенты.

Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W (x), построенном на базе частных решений y ₁(x), y ₂(x), и коэффициентом a ₁(x) в дифференциальном уравнении.

Пусть W (x) − определитель Вронского решений y ₁(x), y ₂(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

в котором функции a ₁(x) и a ₂(x) непрерывны на отрезке [ a,b ]. Пусть точка x ₀ принадлежит отрезку [ a,b ]. Тогда для всех справедлива формула Лиувилля-Остроградского:

Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

, (3)

где – частное решение ДУ(1), y ₀ – общее решение соответствующего однородного ДУ (2):

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n -1)} +... +a_ny = 0,

Докажем теорему для уравнения второго порядка

y ^// + py ^/ + qy = f (x). (4)

где p, q – константы, f (x) 0.

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:

y ^// + py ^/ + q = 0. (5)

Обозначим y ₁, y ₂ его линейно независимые частные решения и y ₀ = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ – его общее решение.)

Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные):

.

Перегруппируем:

.

Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y ₀– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.

Теперь надо решить вопрос: как же найти частное решение ДУ (1).

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного ДУ). Если функции y ₁(x), y ₂(x), …, y _n (x) образуют фундаментальную систему решений ДУ (2), то функция

(3)

является общим решением этого уравнения в области

, , , …, ;

c_i – произвольные постоянные,

[ а, b ] – область непрерывности коэффициентов a_i (x) уравнения (2), i = 1,2,..., n.

 

5. ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с правой частью специ­ального вида. Метод вариации произвольных постоянных.

Раздел 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. ОДУ 1-го по­рядка: определение, формы записи. Задача Коши, теорема существования и един­ственности решения задачи Коши. Изоклины. Основные классы ОДУ 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах