Общая теория лоду и лнду. Определитель Вронского. Формула остроградского-лиувилля. Основная теорема о структуре общего решения лоду (лнду).

 

Определитель Вронского.

Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где C_i – постоянные коэффициенты.

Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W (x), построенном на базе частных решений y ₁(x), y ₂(x), и коэффициентом a ₁(x) в дифференциальном уравнении.

Пусть W (x) − определитель Вронского решений y ₁(x), y ₂(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

в котором функции a ₁(x) и a ₂(x) непрерывны на отрезке [ a,b ]. Пусть точка x ₀ принадлежит отрезку [ a,b ]. Тогда для всех справедлива формула Лиувилля-Остроградского:

Теорема 2 (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

, (3)

где – частное решение ДУ(1), y ₀ – общее решение соответствующего однородного ДУ (2):

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n -1)} +... +a_ny = 0,

Докажем теорему для уравнения второго порядка

y ^// + py ^/ + qy = f (x). (4)

где p, q – константы, f (x) 0.

Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:

y ^// + py ^/ + q = 0. (5)

Обозначим y ₁, y ₂ его линейно независимые частные решения и y ₀ = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ – его общее решение.)

Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные):

.

Перегруппируем:

.

Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y ₀– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.

Теперь надо решить вопрос: как же найти частное решение ДУ (1).

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного ДУ). Если функции y ₁(x), y ₂(x), …, y _n (x) образуют фундаментальную систему решений ДУ (2), то функция

(3)

является общим решением этого уравнения в области

, , , …, ;

c_i – произвольные постоянные,

[ а, b ] – область непрерывности коэффициентов a_i (x) уравнения (2), i = 1,2,..., n.

 

5. ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. ЛНДУ с правой частью специ­ального вида. Метод вариации произвольных постоянных.