Определители квадратной матрицы и их свойства.

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

 

А=

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

=det A = Δ=

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

= (1) т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример1.

Для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

Правило Саррюса или правило треугольника:

Пример 2. Вычислить определитель

Свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом, A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n} (i= ), или j- го столбца d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_nj A_nj (j = ). В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Формулы Крамера; Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными —это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n - неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы a₁₁, a₁₂, …, a_mn и её свободные члены b₁, b₂, …, b_m предполагаются известными. Индексы коэффициента a_ijсистемы обозначают номера уравнения i и неизвестного j,при котором стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, b₁, b₂, …, b_m = 0, иначе — неоднородной

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы уравнений - совокупность n чисел c₁, c₂, …c_n,таких что подстановка каждого c _i вместо x в систему обращает её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если нет ни одного решения. Совместная система может иметь одно или более решений.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса.