Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, . Пусть -определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:

Неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как

 

.

Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Пример. Решите систему линейных уравнений методом Крамера

 

Решение. Основная матрица системы имеет вид

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

 

Составим и вычислим необходимые определители - (определитель получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов , определитель - заменив второй столбец на столбец свободных членов, - заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):

,

Находим неизвестные переменные по формулам

 

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = -1.

Основным недостатком метода Крамера является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех.

Вычисление математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин

а) Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.:

или, если случайная величина может принимать счетное число значений, ,причем лишь в случае абсолютной сходимости ряда.

Свойства математических ожиданий

Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной; т.е. если

С-постоянная величина, то

.

Постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, т.е. если k постоянный множитель, то

.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е. .

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий, т.е.

.

Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

.

6. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на одно и тоже число С, то ее математическое ожидание увеличится (уменьшиться) на это же число

.

б) дисперсией D(X) случайной величины Х называется математического ожидания α(M(X)= α:

.

в) средним квадратичным отношением G(X) (G) случайной вершины называется арифметическим значением корня квадратного из дисперсии, т.е.

.