Министерсво транспорта Российской Федерации

МИНИСТЕРСВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Саратовский техникум железнодорожного транспорта - филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет путей сообщения»

СТЖТ – филиал СамГУПС

Методические указания

по выполнению Контрольной работы по учебной дисциплине

ЕН.01 Прикладная математика

для студентов заочного обученияспециальностей:

27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте),

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте ( по видам), 08.02.10 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство,

23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог,

13.02.07 Электроснабжение (по отраслям)

 

 

Саратов 2015

ОДОБРЕНО

на заседании ЦМК «Математика,

информатика и ИКТ»

Протокол № ___ от «__» _____ 20__ г.

 

Председатель

__________________ /Полкова С.И../

 

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УР ____________________________/Моисеева Т.В./

«___» ___________20__ г.

Составители:

Воротилова Е.А.- преподаватель первой квалификационной

категории СТЖТ - филиала СамГУПС.

 

Рецензенты:

Внутренний

Полкова С.И. - преподаватель высшей квалификационной категории

СТЖТ - филиала СамГУПС

 

 

Пояснительная записка

Одной из основных задач предмета «Математика» для средних специальных заведений состоит в том, чтобы вооружить студентов основами математических знаний и умений в объёме необходимом для практической деятельности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путём самообразования.

Контрольная работа по учебной дисциплине ЕН.01 Прикладная математика проводится в соответствии с требованием рабочей программы для студентов, обучающихся на заочном отделении по специальностям: 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте), 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте ( по видам), 08.02.10 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство, 23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог, 13.02.07 Электроснабжение (по отраслям),с целью определения качества знаний студентов.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен

уметь:

- решать прикладные электротехнические задачи методом комплексных чисел;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики функций изученных функций, иллюстрировать по графику свойства функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин.

- применять математические методы дифференциального и интегрального исчисления длярешения профессиональных задач;

- применять основные положения теории вероятностей и математической статистики впрофессиональной деятельности;

- использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях;

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен

знать:

- основные понятия о математическом синтезе и анализе

.

- способы решения прикладных задач методом комплексных чисел

 

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

Контрольную работу следует выполнять самостоятельно. При решении задач следует обосновывать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

1. Работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля не менее 3 смдля замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради должны быть аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр, специальность, если она не отражена шифре, фамилия, имя, отчество студента, предмет.

3. Каждую задачу нужно начинать с новой страницы.

4. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании.

5. Условие задач должны быть обязательно записаны в тетрадь.

6. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения.

7. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

8. Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертёжных инструментов, соблюдая масштаб.

10. В конце работы следует указать список используемых источников, поставить дату выполнения работы и подпись.

11. Если в работе допущены недочёты и ошибки, то учащийся должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

12. Контрольная работа должна быть выполнена в срок (в соответствии с планом-графиком). В период сессии работы на проверку не принимаются.

13. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

14. Учащиеся, не имеющие зачёта по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

15. Во время экзамена зачтённые контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

16. Контрольная работа имеет 100 вариантов. Вариант работы выбирается по двум последним цифрам шифра согласно представленной таблице.

В процессе изучения учебной дисциплины студент-заочник должен выполнить одну контрольную работу.

После выполнения контрольной работы и практических заданий в сроки, предусмотренные учебным графиком, для проверки знаний студентов проводится экзамен.

 

Методические указания

Линейная алгебра

Комплексные числа.

По данной теме изучите теорию. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия.

Основные понятия и определения. Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнение разрешимым - одна из главных причин расширения понятия числа.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел. Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить уравнение. Корень уравнения или называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Таким образом, символ i удовлетворяет условию

Комплексным числом называется число видаa+bi, где aи b – действительные числа, аi - мнимая единица.

Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью.

Запись комплексного числа в виде z= a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа и называются равнымитогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия«больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Комплексные числа a+bi и a-biназываются сопряжёнными, а комплексные числаa+bi и -a-bi называются противоположными комплексными числами.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Произведением комплексных чисел называется комплексное число.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел как операция, обратная умножению. При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю

Пример 1. Найти сумму и разность комплексных чисел и .

Решение. Сумму находим сложением двучленов :

Произведение находим перемножением двучленов с последующей заменой на -1.

Пример 2. Даны комплексные числа и . Найти разность и частное .

Решение. Разность находим вычитанием двучленов и :

Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю :

Математический анализ

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y' в уравнение, получим – тождество.

Это значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y' +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, . Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество. А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

- общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x² +y² = 5².

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

 

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения . Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y' = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y' = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y' = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀, y₀).

Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y') = 0. В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y' = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y'=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y'=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y'=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим

G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C - произвольная постоянная.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.. Признак Даламбера не дает ответа, если l=1 этом случае для исследования ряда применяются другие методы.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд:

1) ; 2) ; 3) ;

Решение:

1)

Ряд сходится.

2)

Ряд сходится.

Ряд расходится.

Теоретический материал

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

МИНИСТЕРСВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Саратовский техникум железнодорожного транспорта - филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет путей сообщения»

СТЖТ – филиал СамГУПС

Методические указания

по выполнению Контрольной работы по учебной дисциплине

ЕН.01 Прикладная математика

для студентов заочного обученияспециальностей:

27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте),

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте ( по видам), 08.02.10 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство,

23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог,

13.02.07 Электроснабжение (по отраслям)

 

 

Саратов 2015

ОДОБРЕНО

на заседании ЦМК «Математика,

информатика и ИКТ»

Протокол № ___ от «__» _____ 20__ г.

 

Председатель

__________________ /Полкова С.И../

 

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УР ____________________________/Моисеева Т.В./

«___» ___________20__ г.

Составители:

Воротилова Е.А.- преподаватель первой квалификационной

категории СТЖТ - филиала СамГУПС.

 

Рецензенты:

Внутренний

Полкова С.И. - преподаватель высшей квалификационной категории

СТЖТ - филиала СамГУПС

 

 

Пояснительная записка

Одной из основных задач предмета «Математика» для средних специальных заведений состоит в том, чтобы вооружить студентов основами математических знаний и умений в объёме необходимом для практической деятельности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путём самообразования.

Контрольная работа по учебной дисциплине ЕН.01 Прикладная математика проводится в соответствии с требованием рабочей программы для студентов, обучающихся на заочном отделении по специальностям: 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте), 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте ( по видам), 08.02.10 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство, 23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог, 13.02.07 Электроснабжение (по отраслям),с целью определения качества знаний студентов.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен

уметь:

- решать прикладные электротехнические задачи методом комплексных чисел;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики функций изученных функций, иллюстрировать по графику свойства функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин.

- применять математические методы дифференциального и интегрального исчисления длярешения профессиональных задач;

- применять основные положения теории вероятностей и математической статистики впрофессиональной деятельности;

- использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях;

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен

знать:

- основные понятия о математическом синтезе и анализе

.

- способы решения прикладных задач методом комплексных чисел

 

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

Контрольную работу следует выполнять самостоятельно. При решении задач следует обосновывать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

1. Работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля не менее 3 смдля замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради должны быть аккуратно записаны все данные титульного листа: шифр, специальность, если она не отражена шифре, фамилия, имя, отчество студента, предмет.

3. Каждую задачу нужно начинать с новой страницы.

4. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании.

5. Условие задач должны быть обязательно записаны в тетрадь.

6. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения.

7. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

8. Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертёжных инструментов, соблюдая масштаб.

10. В конце работы следует указать список используемых источников, поставить дату выполнения работы и подпись.

11. Если в работе допущены недочёты и ошибки, то учащийся должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

12. Контрольная работа должна быть выполнена в срок (в соответствии с планом-графиком). В период сессии работы на проверку не принимаются.

13. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

14. Учащиеся, не имеющие зачёта по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

15. Во время экзамена зачтённые контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

16. Контрольная работа имеет 100 вариантов. Вариант работы выбирается по двум последним цифрам шифра согласно представленной таблице.

В процессе изучения учебной дисциплины студент-заочник должен выполнить одну контрольную работу.

После выполнения контрольной работы и практических заданий в сроки, предусмотренные учебным графиком, для проверки знаний студентов проводится экзамен.

 

Методические указания