Тема 8. Матрицы и определители

Цель занятия: Овладеть практическими навыками проведения операций над матрицами (линейные операции, умножение); вычисления обратной матрицы методом Жордана-Гаусса; вычисление определителей с использованием специализированных программ.

Вопросы для обсуждения:

1. Линейные операции над матрицами и доказательства свойств этих операций.

2. Умножение матриц и доказательства свойств операции умножения.

3. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.

4. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

5. Математическая модель и основная система уравнений линейного МОБ. Решение двух основных задач.

6. Вычисление миноров, алгебраических дополнений, определителя (детерминанта) и ранга матрицы.

7. Правило Крамера для решения системы п линейных уравнений с п неизвестными.

Обсуждаются вопросы темы 8 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [6], c.36, № 1.15-1.29; c.60, № 2.11-2.29; c.444, № 16.5-16.8 и соответствующие задачи темы 8 контрольных заданий.

Литература: [4], гл.2, §§2.1-2.9; гл.3, §§3.1-3.3, 3.5-3.7; [6], гл.1, §§1.1-1.6; гл.2, §§2.2 -2.7; гл.3, §3.7; гл.16, §§16.1-16.2.

 

Практическое занятие 4

Тема 9. Элементы аналитической геометрии

Цель занятия: Овладеть практическими навыками составления уравнений прямых на плоскости и в пространстве.

Вопросы для обсуждения:

1. Декартова система координат.

2. Способы задания линий первого порядка. Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках; уравнение прямой, проходящей через две точки.

3. Уравнения плоскости в пространстве. Способы задания плоскости.

4. Способы задания уравнений прямой в пространстве.

Обсуждаются вопросы темы 9 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [2], c.27-29, № 68-96, с.30-32, № 97-125 и соответствующие задачи темы 9 контрольных заданий.

Литература: [1], гл.2, §§1-3; [4], гл.4, §§4.1-4.4; [6], гл.4, §§4.1-4.3, 4.7.

 

Ш. Задачи оптимизации

Практическое занятие 5

Тема 10. Классические методы оптимизации

Цель занятия: Овладеть практическими навыками решения задач на условный экстремум методом множителей Лагранжа.

Вопросы для обсуждения:

1. Построение целевой функции и граничных условий в задачах на условный экстремум.

2. Математическая постановка классической задачи на условный экстремум.

3. Применение метода множителей Лагранжа для решения задач на условный экстремум.

Обсуждаются вопросы темы 10 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [7], c.70, № 1-6 и соответствующие задачи темы 10 контрольных заданий.

Литература: [3], гл.8, §§8.1-8.3; [8], гл.10, §§10.1-10.2.

 

Практическое занятие 6

Лабораторные занятия 7, 8, 9

Тема 11. Задачи линейного программирования

Цель занятия: Овладеть практическими навыками решения задачи линейного программирования графическим, симплекс-методом и решения транспортной задачи с использованием специализированных программ.

Вопросы для обсуждения:

1. Алгоритм графического метода решения задачи оптимизации выпуска продукции (для двух переменных).

4. Алгоритм симплекс-метода и применение симплексных таблиц для решения задачи линейного программирования.

5. Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача).

6. Экономическая постановка транспортной задачи.

7. Закрытые и открытые транспортные задачи.

8. Допустимый, опорный и оптимальный планы перевозок.

9. Построение начального плана перевозок по методу северо-западного угла и методу наименьшей стоимости.

10. Метод потенциалов и алгоритм перехода к лучшему опорному плану, его сущность и алгоритм.

11. Критерий оптимальности опорного плана.

Обсуждаются вопросы темы 11 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [8], c.26, № 1.4-1.7; c.62, № 4.4-4.12; c.97, № 5.12-5.25; c.121, № 6.12-6.17; c.150, № 7.10-7.16 и соответствующие задачи темы 11 контрольных заданий.

Литература: [4], гл.7, §§7.1-7.4; гл.8, §§8.1-8.3; гл.9, §§9.1-9.3; [8], гл.1, §§1.1-1.3; гл.4; гл.5, §5.1-5.6; гл.6, §§6.1-6.5; гл.7, §§7.1-7.5.

IV. Теория вероятностей и математическая статистика

Практическое занятие 7

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Цель занятия: Овладеть практическими навыками вычисления вероятностей случайных событий и применения основных правил сложения и умножения вероятностей различных событий.

Вопросы для обсуждения:

1. Испытание, случайное событие.

2. Частота и относительная частота появления события.

3. Вычисление вероятности случайного события.

4. Применение классического определения вероятности для решения задач.

5. Вычисление числа сочетаний, перестановок, размещений.

6. Правила нахождения суммы и произведения событий.

7. Применение теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

8. Применение теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

9. Использования формул полной вероятности и Байеса для решения задач.

10. Применение формулы Бернулли. Вычисление вероятности того, что количество появлений определенного события в серии независимых испытаний будет заключено в заданных границах.

11. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа.

Обсуждаются вопросы темы 12 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [10], c.30, № 115; [11], c.8, № 125, [10], c.36, № 1-6; c.47, № 1-15; с.54, № 3-9, [11], c.18, № 46-88, с. 31, № 90- 95; с.33, № 99- 102, [11], c.38, № 111-115; c.40, № 121-127 и соответствующие задачи темы 12 контрольных заданий.

Литература: [10], гл.1, §§1-7, [10], гл.2, §§1-4; гл.3, §§1-5, гл.4, §§1-3, [10], гл.5, §1-3.

 

Практическое занятие 8

Тема 13. Случайные величины

Цель занятия: Овладеть практическими навыками вычисления числовых характеристик случайной величины.

Вопросы для обсуждения:

1. Случайная величина и закон её распределения.

2. Дискретная случайная величина и закон её распределения.

3. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины.

4. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

5. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

6. Задание непрерывной случайной величины функцией распределения.

7. Плотность распределения вероятности и её свойства.

8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

9.Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по равномерному закону.

10. Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону.

11. Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону.

12. Правило трех сигм.

13. Закон больших чисел (теоремы Чебышева и Бернулли).

14. Неравенство Чебышева и применение его для решения практических задач.

15. Теорема Чебышева и её значение для практики.

Обсуждаются вопросы темы 13 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [10], c.74, № 1-10; c.84, № 1-7; c.100, № 1-12; [11], c.53, № 164-187; c.64, № 189-227, 10], c.115, № 1-3; c.124, № 1-4, c.147, № 1-9, c.155, № 1-4; [11], c.88, № 253-297; c.106, № 307-372 и соответствующие задачи темы 13 контрольных заданий.

Литература: [10], гл.6, §§1-6; гл.7, §§1-5; гл.8, §§1-7, [10], гл.10, §§1-3; гл.11, §§1-6; гл.12, §§1-8; гл.13, §§1-6.

Практическое занятие 9

Лабораторное занятие 10

Тема 14. Основы математической теории выборочного метода

Цель занятия: Овладеть практическими навыками исследования генеральной совокупности по выборке; построения дискретных и интервальных вариационных рядов; вычисления точечных и интервальных статистических оценок неизвестных параметров теоретического распределения с использованием специализированных программ.

 

Вопросы для обсуждения:

1. Основные задачи математической статистики.

2. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативная выборка.

3. Построение дискретных и интервальных вариационных рядов.

4. Расчет числовых характеристик выборки.

5. Построение гистограммы, полигона и кумуляты.

6 Точечные статистические оценки.

7. Несмещенные, эффективные и состоятельные точечные оценки.

8. Нахождение точечных оценок генеральной средней и генеральной дисперсии.

9. Интервальные статистические оценки.

10. Надежность и точность интервальной оценки.

11. Построение доверительного интервала.

12. Интервальные оценки генеральной средней и генерального стандартного отклонения нормально распределенного количественного признака.

Обсуждаются вопросы темы 14 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [11], c.151, № 439, 440; c.152, № 441-447; c.181, № 523-528, [10], c.235, № 1-14; [11], c.158, № 450-470, c.175, № 501-522 528 и соответствующие задачи темы 14 контрольных заданий.

Литература: [10], гл.15, §§1-8; гл.16, §§4, 9, [10], гл.16, §§1-5, 13-18.

 

Лабораторное занятие 11