Кафедра математики и статистики

Имени П.А. СТОЛЫПИНА»

Кафедра математики и статистики

 

 

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

и инновационному развитию

________Л.В. Константинова

«___» ___________ 2011 г.

 

 

Учебно-методический комплекс

по дисциплине «математика»

для бакалавров направления подготовки

Государственное и муниципальное управление

 

 

Одобрен на заседании

Учебно-методического совета

факультета Государственного и муниципального управления

от «» ____________ 2011 г.

протокол №

 

Саратов 2011

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» разработан

профессором, к.ф.-м.н. Можейко С.Б.

 

Рассмотрен на заседании кафедры математики и статистики и рекомендован к использованию в учебном процессе (протокол от «30» июня 2011 г. № 12).

 

 

Заведующий кафедрой В.А. Иванов

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика является не только универсальным языком науки, но и элементом общей культуры. Обучение математике прививает студенту строгую дисциплину мышления, развивает интеллект. Математические знания вырабатывают у студентов важнейшие умения, которые не способна дать ни одна из учебных дисциплин.

Цель данной дисциплины – сформировать у студентов понимание необходимости и полезности применения математических моделей и методов к решению задач в различных областях профессиональной деятельности.

Задачи курса:

ознакомить студентов с основными математическими моделями анализа и прогнозирования социально-экономических состояний и процессов, принятия управленческих решений;

· научить студентов применять математические модели для решения практических задач;

· научить студентов проводить количественный анализ социально-экономических явлений по математическим моделям и выбирать оптимальное управленческое решение;

· сформировать у студентов навыки использования математических методов и моделей при анализе и выработке управляющих решений в профессиональной деятельности.

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП

Дисциплина «Математика» относится к группе дисциплин базовой части математического и естественно-научного цикла ООП по направлению подготовки 081100.62 Государственное и муниципальное управление.

Данная дисциплина базируется на курсах алгебры и начал анализа, геометрии средней школы и формирует знания студентов для освоения дисциплин:

– математического и естественно-научного цикла (Б2) – «Статистика», «Методы принятия управленческих решений», «Основы математического моделирования СЭП»;

– гуманитарного, социального и экономического цикла (Б1) – «Экономическая теория (микро- и макроэкономика, мировая экономика)».

Изучение данной дисциплины необходимо для следующих дисциплин, представленных в таблице.

Введены обозначения (разделы или темы дисциплины):

Раздел I: Математический анализ.

Раздел II: Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.

Раздел III: Задачи оптимизации.

Раздел IV: Теория вероятностей и математическая статистика.

Дисциплина ФГОС	I	II	III	IV
1.	Статистика				+
2.	Методы принятия управленческих решений			+
3.	Основы математического моделирования СЭП	+	+	+	+
4.	Экономическая теория (микро- и макроэкономика, мировая экономика)	+	+

 

 

КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ,

ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

 

Процесс обучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций у студентов:

общекультурные компетенции (ОК по ФГОС):

· знает и понимает законы развития природы, общества и мышления и умеет оперировать этими знаниями в профессиональной деятельности; умеет анализировать и оценивать социально-значимые явления, события, процессы; владеет основными методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);

общепрофессиональные (ПК по ФГОС):

· способен адаптировать основные математические модели к конкретным задачам управления (ПК-23);

· умеет применять количественные и качественные методы анализа при оценке состояния экономической, социальной, политической среды (ПК-24).

В результате изучения дисциплины бакалавры должны:

ЗНАТЬ:

· основы математического анализа, линейной и матричной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

· основные математические методы и модели принятия оптимальных решений.

УМЕТЬ:

· решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений;

· обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные;

· формализовать практическую задачу и интерпретировать полученные результаты для принятия оптимального решения.

ВЛАДЕТЬ:

· математическими, статистическими и количественными методами решения типовых управленческих задач;

· пакетом специализированных программ для статистической обработки информации.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 

Дисциплина: Математика

Направление подготовки бакалавров: 081100.62 Государственное и муниципальное управление

Форма обучения очная курс: 1

Общая трудоемкость дисциплины: 5 зачетных единиц (180 часов)

 

	Трудоемкость в часах
№ п/п	Наименование раздела, подраздела, темы	Всего часов учебн. заня-тий	Всего часов ауди- тор-ных	В том числе	Самостоя-тельная работа	Текущий контроль (опрос, тестирова-ние, реферат, доклад)
лекции	Семинары, практические занятия	Лабора-торные работы, деловые игры и др. активн. формы
I	Математический анализ							Тестиро-вание
	Множества и последовательности					-		опрос
	Функции одной переменной					-		опрос
	Дифференциальное исчисление функции одной переменной				-			опрос
	Интегральное исчисление функции одной переменной				-			опрос
	Функции нескольких переменных				-			опрос
II	Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии							Тестиро-вание
	Векторный анализ.			-		-		опрос
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Система п линейных уравнений с п неизвестными			-	-			опрос
	Матрицы и определители.				-			опрос
	Элементы аналитической геометрии					-		опрос
III	Задачи оптимизации							Тестиро-вание
	Классические методы оптимизации					-		опрос
	Задачи линейного программирования							опрос
IV	Теория вероятностей и математическая статистика							Тестиро-вание
	Основные понятия и теоремы теории вероятностей					-		опрос
	Случайные величины					-		опрос
	Основы математической теории выборочного метода							опрос
	Проверка статистических гипотез				-			опрос
	Элементы теории корреляции				-			опрос
	Итого
	Итоговый контроль			экзамен

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Введение. Математика как инструмент познания. Место и роль математики в истории, в современном мире. Роль математики в экономике, теории управления и в гуманитарных исследованиях. Математическое моделирование.

I. Математический анализ

Тема 1. Множества и последовательности.

Понятие множества. Подмножества. Множества конечные и бесконечные. Мощность множества. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

Числовые последовательности. Операции над последовательностями. Предел числовой последовательности. Ограниченность, сходимость и монотонность числовой последовательности. Теоремы о пределах последовательностей (о пределе суммы, произведения, частного). Необходимое условие сходимости последовательности. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Примеры числовых последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

 

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных. Полное и частные приращения функции нескольких переменных.

Ш. Задачи оптимизации

Тема 10. Классические методы оптимизации.

Общая постановка задачи оптимизации. Классическая задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

 

IV. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Испытание. Совокупность элементарных исходов испытания. Случайное событие. Вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности.

Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.

Комбинаторика. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.

Правила вычисления вероятностей. Вероятность противоположного события. Условная вероятность. Правила умножения вероятностей зависимых и независимых событий. Правила сложения вероятностей совместных и несовместных событий.

Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

 

Тема 13. Случайные величины.

Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Способы задания закона распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона.

Понятие непрерывной случайной величины, ее описание функцией распределения и плотностью распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения. Правило трех сигм.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева, ее сущность и значение для практики.

 

Тема 14. Основы математической теории выборочного метода. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

Вариационный ряд. Дискретный и интервальный вариационный ряд. Гистограмма, полигон. Эмпирическая функция распределения. Кумулята. Числовые характеристики выборки (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение).

Точечные статистические оценки. Несмещенные, эффективные и состоятельные точечные оценки. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Интервальные статистические оценки. Надежность и точность интервальной оценки. Доверительный интервал. Интервальные оценки генеральной средней и генерального стандартного отклонения нормально распределенного количественного признака.

 

 

Тема 15. Статистическая проверка гипотез.

Понятие статистической гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Понятие критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Односторонняя и двусторонняя критическая область, критические точки. Мощность критерия.

Законы распределения "хи-квадрат", Стьюдента, Фишера. Критерии и правила проверки гипотез: о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей; о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей.

I. Математический анализ

Практическое занятие 1

Практическое занятие 2

Лабораторное занятие 1

Лабораторное занятие 2

Лабораторное занятие 3

Практическое занятие 3

Тема 6. Векторный анализ

Цель занятия: Овладеть практическими навыками проведения операций над векторами.

Вопросы для обсуждения:

1. Понятие п -мерного вектора; линейные операции над векторами.

2. Скалярное произведение векторов, условия ортогональности и коллинеарности векторов.

3. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

4. Размерность и базис линейного пространства. Единичный базис.

5. Разложение вектора по базису.

Обсуждаются вопросы темы 8 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [6], c.93, № 3.18-3.22 и соответствующие задачи темы 8 контрольных заданий.

Литература: [4], гл.1, §§1.1-1.3, 1.6, 1.7; [6], гл.3, §§3.1-3.6.

 

Лабораторное занятие 4

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

Цель занятия: Овладеть практическими навыками решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса с использованием специализированных программ.

Вопросы для обсуждения:

1. Применение метода Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Обсуждаются вопросы темы 7 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [6], c.61, № 2.15-2.20 и соответствующие задачи темы 7 контрольных заданий.

Литература: [4], гл.1, §§1.4, 1.5; [6], гл.2, §§2.1-2.5.

 

Лабораторные занятия 5,6

Практическое занятие 4

Ш. Задачи оптимизации

Практическое занятие 5

Практическое занятие 6

Практическое занятие 7

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Цель занятия: Овладеть практическими навыками вычисления вероятностей случайных событий и применения основных правил сложения и умножения вероятностей различных событий.

Вопросы для обсуждения:

1. Испытание, случайное событие.

2. Частота и относительная частота появления события.

3. Вычисление вероятности случайного события.

4. Применение классического определения вероятности для решения задач.

5. Вычисление числа сочетаний, перестановок, размещений.

6. Правила нахождения суммы и произведения событий.

7. Применение теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

8. Применение теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

9. Использования формул полной вероятности и Байеса для решения задач.

10. Применение формулы Бернулли. Вычисление вероятности того, что количество появлений определенного события в серии независимых испытаний будет заключено в заданных границах.

11. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа.

Обсуждаются вопросы темы 12 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [10], c.30, № 115; [11], c.8, № 125, [10], c.36, № 1-6; c.47, № 1-15; с.54, № 3-9, [11], c.18, № 46-88, с. 31, № 90- 95; с.33, № 99- 102, [11], c.38, № 111-115; c.40, № 121-127 и соответствующие задачи темы 12 контрольных заданий.

Литература: [10], гл.1, §§1-7, [10], гл.2, §§1-4; гл.3, §§1-5, гл.4, §§1-3, [10], гл.5, §1-3.

 

Практическое занятие 8

Тема 13. Случайные величины

Цель занятия: Овладеть практическими навыками вычисления числовых характеристик случайной величины.

Вопросы для обсуждения:

1. Случайная величина и закон её распределения.

2. Дискретная случайная величина и закон её распределения.

3. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины.

4. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

5. Расчет числовых характеристик дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

6. Задание непрерывной случайной величины функцией распределения.

7. Плотность распределения вероятности и её свойства.

8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

9.Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по равномерному закону.

10. Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону.

11. Расчет числовых характеристик непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону.

12. Правило трех сигм.

13. Закон больших чисел (теоремы Чебышева и Бернулли).

14. Неравенство Чебышева и применение его для решения практических задач.

15. Теорема Чебышева и её значение для практики.

Обсуждаются вопросы темы 13 контрольных заданий.

Решаются следующие типовые задачи: [10], c.74, № 1-10; c.84, № 1-7; c.100, № 1-12; [11], c.53, № 164-187; c.64, № 189-227, 10], c.115, № 1-3; c.124, № 1-4, c.147, № 1-9, c.155, № 1-4; [11], c.88, № 253-297; c.106, № 307-372 и соответствующие задачи темы 13 контрольных заданий.

Литература: [10], гл.6, §§1-6; гл.7, §§1-5; гл.8, §§1-7, [10], гл.10, §§1-3; гл.11, §§1-6; гл.12, §§1-8; гл.13, §§1-6.

Практическое занятие 9

Лабораторное занятие 10

Лабораторное занятие 11

Лабораторное занятие 12

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Для методического обеспечения самостоятельной работы необходимы:

· программа учебной дисциплины;

· список рекомендованной основной и дополнительной литературы;

· компьютер с выходом в Интернет и список сайтов с необходимой основной и дополнительной информацией;

· библиотека и читальный зал с необходимой основной и дополнительной литературой, согласно требованиям ФГОС ВПО;

· методические рекомендации по изучению тем дисциплины и выполнению контрольных заданий;

· методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине (контрольно-измерительные материалы).

Методические рекомендации по изучению дисциплины “Математика”

Тема 6. Векторный анализ

Целью изучения данной темы является усвоение студентами некоторых основных понятий линейной алгебры и умение применять изученные понятия и факты в экономике. Векторы, рассматриваемые в этой теме, представляют собой упорядоченный набор действительных чисел и отличаются от векторов, изучаемых в курсе физики и геометрии в средней школе.

Студент должен уметь производить линейные операции над векторами, знать их свойства, дать экономическую интерпретацию векторов и линейных операций над ними. В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен Р на вектор объема продукции Х как суммарную стоимость выпущенной продукции.

Студент должен уметь представить вектор в виде линейной комбинации других векторов, раскладывать вектор по базису.

 

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

При математическом моделировании различных процессов в экономике, управлении возникает необходимость в решении систем линейных уравнений. Студентам необходимо научиться решать системы линейных уравнений, состоящих из произвольного числа уравнений. Знать при каких условиях система имеет единственное решение, множество решений и не имеет решений.

В этой теме студенты изучают один из методов решения систем линейных уравнений – метод Жордана-Гаусса. Метод Жордана-Гаусса состоит в последовательном замещении вектор-столбцов при неизвестных единичными вектор-столбцами с помощью элементарных преобразований. В результате исходная система сводится к системе, эквивалентной векторному уравнению вида

Е₁х₁ + Е₂х₂ +…+ Е_пх_п = В'.

В силу основного свойства единичного базиса решение этой системы, т.е. компоненты вектора Х равны соответствующим компонентам вектор-столбца свободных членов В'. Решая систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса можно пользоваться сокращенной формой записи системы в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы. Студенты должны уметь решать системы линейных уравнений с помощью "правила прямоугольника".

 

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Приступая к изучению этого раздела, студентам необходимо познакомится с основными понятиями теории вероятностей к которым можно отнести: испытание и случайное событие, частота и относительная частота появления события в серии испытаний, свойство устойчивости относительной частоты, статистическое и классическое определения вероятности. Студент должен знать простейшие свойства вероятности.

Не всегда возможно вычисление вероятности какого-либо события с использованием только классического определения вероятности. В некоторых задачах вероятности отдельных "исходных" событий известны и требуется вычислить вероятность другого события, являющегося комбинацией исходных. В таких задачах используют теоремы сложения и умножения вероятностей.

Если требуется вычислить вероятность события при условии, что известны значения его вероятности при выполнении некоторых гипотез, или требуется переоценить значения вероятностей гипотез с учетом некоторой дополнительной информации о результатах испытания, то для решения такого рода задач используются формулы полной вероятности и формулы Байеса. Студенты должны знать определения, теоремы, формулы вычисления вероятностей и условия их применимости к той или иной задаче.

При осуществлении серии из п однородных независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А и требуется определить вероятность того, что в этой серии испытаний событие А произойдет определенное число раз, или вероятность того, что количество появлений события А в данной серии испытаний будет заключено в определенных границах используется:

1) если число испытаний п невелико и требуется вычислить вероятность того, что событие А в данной серии испытаний произойдет ровно k раз, т.е. , формула Бернулли. Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А произойдет не менее k₁ раз и не более k₂ раз вычисляется с помощью формулы Бернулли и теоремы сложения вероятностей;

2) если число испытаний велико, для вычисления вероятности локальная теорема Лапласа, для вычисления вероятности интегральная теорема Лапласа.

 

Тема 13. Случайные величины

Целью изучения данной темы является усвоение студентами таких понятий, как случайная величина, дискретная случайная величина, закон распределения случайной величины.

Понятие случайной величины определяется следующим образом. Осуществляется некоторое испытание, для которого известна совокупность элементарных исходов. В связи с данным испытанием рассматривается некоторая величина, которая в результате испытания может принимать различные числовые значения, не поддающиеся прогнозированию. Однако, известно, что при каждом конкретном элементарном исходе испытания эта величина принимает одно определенное значение. Эта величина называется случайной. Если множество возможных значений случайной величины конечно или бесконечно и может быть записано в виде последовательности, то такая случайная величина называется дискретной.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и вероятностями, с которыми данная случайная величина принимает эти значения. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей, формулой, графиком.

Студенты должны знать определения, понимать эмпирический смысл числовых характеристик дискретных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Конкретным примером закона распределения дискретной случайной величины является биномиальный закон распределения. Студентам необходимо знать определение биномиального закона, его связь с формулой Бернулли и числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Необходимо знать распределение Пуассона.

При изучении непрерывных случайных величин необходимо усвоить: случайная величина Х называется непрерывной случайной величиной, если закон ее распределения может быть задан равенством , где () – произвольный интервал числовой оси, - плотность вероятности случайной величины Х.

Студенты должны знать определения и свойства функции распределения и плотности вероятности случайной величины, взаимосвязь функции распределения и плотности вероятности, знать определения и понимать эмпирический смысл числовых характеристик непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

В качестве примеров законов распределения непрерывных случайных величин необходимо рассматривать конкретные законы распределения (равномерный, нормальный, показательный). Студентам необходимо знать определения законов распределения, числовые характеристики, формулы для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

Закон больших чисел устанавливает близость между вероятностью случайного события и частостью появления его при большом числе испытаний. Наиболее общая форма этого закона дана П.Л. Чебышевым. Теорема Чебышева имеет применение в теории ошибок наблюдений.

 

А. Вопросы

Введение

1. Какова роль математики в экономике, теории управления, истории?

2. Какие элементы включает в себя процесс математического моделирования?

Тема 6. Векторный анализ

1. Что такое вектор?

2. Какие линейные операции производят над векторами?

3. Какие векторы называются линейно зависимыми?

4. Какие векторы образуют базис линейного пространства?

5. Как определяется Евклидово векторное пространство?

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

1.Что такое элементарные преобразования системы линейных уравнений?

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

1. Каков содержательный смысл понятий испытание, случайное событие?

2. Как определяется вероятность случайного события?

3. Как рассчитываются число сочетаний, перестановок, размещений?

4. Каков содержательный смысл понятий частоты и относительной частоты появления события?

5. Как формулируется статистическое определение вероятности?

6. Как определяется вероятность противоположного события?

7. Как определяется условная вероятность события?

8. Как формулируются правила сложения вероятностей совместных и несовместных событий?

9. Как формулируются правила умножения вероятностей для зависимых и независимых событий?

10. Как записывается формула полной вероятности?

11. Как формулируется теорема Байеса?

12. Что определяет формула Бернулли?

13. При каких условиях применяется формула Бернулли вычисления вероятности события?

Тема 13. Случайные величины

1. Каков содержательный смысл понятий случайная величина, “дискретная случайная величина”?

2. Как определяется закон распределения дискретной случайной величины?

3. Каков содержательный смысл числовых характеристик дискретной случайной величины?

4. Какова связь биномиального закона распределения с формулой Бернулли?

5. Каков содержательный смысл распределения Пуассона?

6. Каков содержательный смысл понятия “непрерывная случайная величина”?

7. Какими функциями задается непрерывная случайная величина?

8. Каков содержательный смысл числовых характеристик непрерывной случайной величины.?

9. В чем заключается характеристическое свойство показательного закона надежности?

10. Каков содержательный смысл закона "трех сигм"?

11. Каков содержательный смысл теоремы Чебышева?

12. Каково практическое значение теоремы Чебышева?

 

Б. Задачи

Тема 6. Векторный анализ

27.Выполните операции над векторами А= (1, 2, -1, 3),

В = (3, 0, 4, -5):

а) С = А+В;

б) D = A-B;

в) N = 2A+3B;

г) = (А, В).

28. Выясните, являются ли векторы А₁ и А₂ линейно зависимыми:

а) А₁=(2,0), А₂=(0,3);

б) А₁=(1,0,-2), А₂=(2,-1,0).

29. Докажите, что векторы А₁=(1,0,0,0), А₂=(0,1,0,0), А₃=(0,0,1,0), А₄=(0, 0,0,1) образуют базис в 4-х мерном пространстве.

30. Разложите вектор В = (2, -4, 15) по базису А₁, А₂, А₃, где А₁=(2,0,0), А₂=(0, 1,0), А₃=(0,0,5).

31. Среди векторов А=(-1,3,5,-4), В=(4, 2,2,3), С=(2,-6,-10,8) найдите:

а) коллинеарные;

б) ортогональные.

 

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

32.Решите систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

.

 

Тема 12. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

64. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найдите вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных “в одну линию” карточках, можно будет прочесть слово «сорт».

65. Набирая номер телефона, абонент не помня одну цифру, набрал ее наудачу. Найдите вероятность того, что набрана нужная цифра.

66. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

67. В партии из 10 изделий 7 стандартных. Найдите вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

68. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найдите вероятность того, что среди извлеченных деталей

а) нет бракованных; б) нет годных.

69. Есть 3 билета в различные театры. Сколькими способами они могут быть распределены среди 25 студентов группы, если каждый студент может получить только один билет?

70. На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки)?

 

71. В группе из 15 человек 7 студентов не выполнили домашнего задания по математике. Преподаватель опрашивает 5 человек. Найдите вероятность того, что преподаватель вызовет 2 человека из числа не выполнивших домашнего задания.

72. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:

а) одно окрашенное изделие;

б) два окрашенных изделия;

в) хотя бы одно окрашенное изделие.

73. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найдите вероятность появления цветного шара (не белого).

74. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁=0,8; р₂=0,7; р₃=0,9. Найдите вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

75. В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найдите вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В), при третьем – синий (событие С).

76. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из него наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

77. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

78. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найдите вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

79. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

80. Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее 2 раз; б) не менее 2 раз.