Тема 1 Матрицы и определители

 

Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Теорема Лапласа. Присоединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы — максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов). (1, гл.1, § 1.1-1.6; с.9-35); (2, гл.1).

Надо хорошо уяснить, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из mn чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц).

Необходимо усвоить следующее: строки обозначаются индексом ”i”, столбцы индексом ”j”. Поэтому любой элемент матрицы можно обозначить a_ij. Это означает, что элемент a_ij находится в i-ой строке и в j-ом столбце. Например, a₁₁ – элемент первой строки и первого столбца; a₂₃–элемент второй строки и третьего столбца. Индекс с «i» растет всегда «вниз», а индекс «j» – растет вправо.

Размер матрицы m х n означает, что конечные величины i и j равны соответственно m и n, т.е. i_кон=m, j_кон=n.

При вычислении определителей необходимо отметить, что определитель есть число и вычисляется по определенным правилам. Необходимо рассмотреть правило вычисления определителей второго порядка и правило треугольника или правило Сарруса для вычисления определителей третьего порядка.

В качестве универсального метода вычисления определителей необходимо рекомендовать вычисление на основе теоремы Лапласа.

Для этого нужно знать определение минора (вычисление), определение алгебраического дополнения A_ij=(-1)^i+jM_ij и саму теорему Лапласа. (1, пример 9, с. 25, с. 26).

Мало того, нужно обратить внимание и на то, что определители порядка больше трех вычисляются с помощью теоремы Лапласа.

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения (1, с. 12 – 13) и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В:число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ¹ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

=

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять, знать, что для существования матрицы А^-1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА^-1 или А^-1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то, в соответствии с определением, матрица А ^-1 вычислена правильно.

Нужно уметь вычислять определители второго и третьего порядков (метод треугольника) и более высших порядков (1, пример 1.9, c.25, 26). При вычислении определителей нужно активно использовать свойства определителей 2,4,5,6,8. Теорему Лапласа нужно знать твердо и уметь ее использовать для практики.

Разобрать для усвоения материала по вычислению определителей задачи 1.19-1.21.

Вычисление обратной матрицы осуществлять по алгоритму, изложенному в (1). Нужно четко усвоить в алгоритме, что обратная к исходной матрице существует. После этого определяется транспонированная к исходной матрица. Именно для транспонированной матрицы А¢ ищутся алгебраические дополнения A_ij.

Из алгебраических дополнений к транспонированной матрице составляется присоединенная (союзная) матрица.

Если известна союзная матрица и определитель исходной матрицы, то вычисляется обратная матрица

A^-1= / .

Обратная матрица будет использоваться для решения систем линейных уравнений.

Для усвоения материала необходимо разобрать задачи (1, 1.15— 1.18, 1.22—1.29).

Пример: Найти матрицу С=В¢×А¢×А×В, если А= , В= .

Решение:

Алгоритм решения:

1. Находим матрицы В¢, А¢, транспонированные к матрицам А и В.

А¢= , В¢= .

2. Находим произведение матриц:

В¢×А¢= × = .

Это возможно ибо число столбцов матрицы В¢ равно числу строк матрицы А¢.

3. Находим произведение матриц:

А×В= = .

4. Находим произведение

С=В¢×А¢×А×В= = (10)

Ответ: C = (10)