Дифференциальное уравнение теплопередачи

Конвекцией

 

Чтобы найти коэффициент теплоотдачи необходимо знать температурный градиент в формуле (69), а следовательно и распределение температур в жидкости. Последнее может быть получено из дифференциального уравнения теплопроводности, которое выводится на основе закона сохранения энергии.

Принято для каждого элементарного объема жидкости сумма изменений кинетической и внутренней энергий равна сумме подведенного тепла и выполненной работы.

Ограничимся более простой формулировкой этого закона, предположив, что изменение кинетической энергии и совершен­ной работы очень незначительно по сравнению с подведенным теплом.

В этом случае на основании допущения, что изменение внутренней энергии равно количеству подведенного тепла было получено дифференциальное уравнение передачи тепла конвекцией:

, (70)

где W_х, W_у, W_z – скорость движения в направлении осей х, у, z;

t – температура;

λ, с, ρ - соответственно коэффициент теплопроводности,

удельная теплоемкость и плотность жидкости.

Его называют дифференциальным уравнением теплопроводности в дви­жущейся жидкости или уравнением Фурье-Кирхгофа.

Поскольку в этом уравнении переменными величинами явля­ется не только температуры, но скорость и плотность, то при теоретических исследованиях теплопередачи конвекцией его сле­дует рассматривать совместно с уравнением сплошности и урав­нением движущейся вязкой несжимаемой жидкости, как единую систему уравнений, представляющую математическое выражение этого сложного теплового процесса в самом общем виде.

Уравнение (70) представляет собой полную производ­ную от температуры во времени. Такую производную, связанную с движущейся материей или субстанцией, называют субстанционнойпроизводной и обозначают одним символом:

(71)

Здесь - характеризует изменение температуры во времени в

какой-либо точке жидкости, т.е. является локальным

изменением t.

Член характеризует изменение температура при переходе от точки к точке, т.е. является конвективным изменением t.

Применим обозначение

Тогда, дифференциальное уравнение конвективного теплообмена (уравнение Фурье-Кирхгофа) можно записать в форме:

(72)

Если, то уравнение (5.18) переходит в уравнение теплопроводности. Уравнение конвективного тепло­обмена содержит пять неизвестных.

Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье-Стокса),

(73)

где g_х, g_у, g_z – проекция ускорения силы тяжести;

Р – давление;

v – коэффициент кинематической вязкости, м²/с.

В векторной форме можно записи

(74)

Так как в уравнении движения, помимо W_х, W_y, W_z, вхо­дит еще одна неизвестная величина Р, то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение и таким уравнением является дифференциальное уравнение сплош­ности (неразрывности).

Дифференциальное уравнение сплошности или наразрыв-ности для сжимаемых жидкостей

(75)

для несжимаемых жидкостей, полагая ρ = сопst, получим:

(76)

или то же самое

(77)

Таким образом, процесс конвективного теплообмена в несжима­емой однофазной среде описывается следующей системой диффе­ренциальных уравнений

(78)

Краевые условия. Так как дифференциальные уравнения выведены на основе общих законов физики, то они описывают явления в самом общем виде. Существует бесчисленное число процессов теплоотдачи, которые описываются указанными урав­нениями, но вместе с этим отличаются друг от друга некоторыми частностями. Чтобы ограничить задачу, из бесчисленного количе­ства выделить рассматриваемый процесс и определить его одно­значно, т. е. дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить матема­тическое описание всех частных особенностей, которые называют­ся условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности состоят из:

1) геометрических условий, характеризующих форму и раз­меры тела, в котором протекает процесс;

2) физических условий, характеризующих физические свой­ства среды и тела;

3) граничных условий, характеризующих особенности проте­кания процесса на границах тела;

4) временных условий, характеризующих особенности проте­кания процесса во времени.

Условия однозначности могут быть заданы в виде числового значения, в виде функциональной зависимости или в виде диф­ференциального уравнения. Пусть, например, рассматривается случай теплоотдачи при движении жидкости в трубе. В этом слу­чае могут быть заданы такие условия однозначности:

1.Труба круглая, гладкая, диаметр трубы d и длина ее l.

2.Рабочим телом, т. е. теплоносителем, является вода, которая несжимаема, ее физические параметры равны: λ(t), с (t), μ (t)и γ (t). Если же зависимостью физических параметров от температуры можно пренебречь, тогда они задаются просто в виде числовых значений λ, с, μ и γ Если теплоносителем является сжимаемая жидкость (газы), то должно быть написано уравнение состояния этой жидкости.

3.Температура жидкости при входе равна t'_f, а на поверх­ности трубы - t_ω. Скорость при входе равна ω, а у самой стенки ω = 0. Если же температура и скорость при входе не постоянны, то должен быть задан закон их распределения по сечению.

4.Для стационарных процессов временные условия однознач­ности отпадают.

Итак, математическое описание процесса теплоотдачи состоит из: 1) уравнения теплообмена; 2) уравнения теплопроводности;

3) уравнения движения; 4) уравнения сплошности; 5) условий однозначности

 

2.4 Подобие и моделирование процессов конвектив­ного теплообмена

Закон теплового подобия определяет условия, при кото­рых геометрически и механически подобные системы подобны и в тепловом отношений. Последнее означает подобие температур­ных полей и тепловых потоков.

Основные положения теории подобия обычно формулируются в виде 3-х теорем

Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет выявить критерии подобия. В общей форме эта теорема формулируется так: подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия.

Вторая теорема подобия устанавливает возмож­ность представления интеграла как функции от критериев подобия дифференциального уравнения. На основании этой тео­ремы любая зависимость между переменными, характеризующи­ми какое-либо явление, может быть представлена в виде зависи­мости между критериями подобия К₁, К₂,..., К _п:

f· (К_1, К₂,..., К _п) = 0

Зависимость такого вида называется обобщенным или критериальным уравнением. Так как для всех подобных между собой явлений критерии подобия сохраняют одно и то же значение, то и критериальные зависимости для них одинаковы. Следовательно, представляя результаты какого-либо опыта в критериях подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой явлений..

Помимо критериев подобия, в критериальное уравнение мо­гут входить так называемые симплексы - безразмерные отноше­ния однородных физических величин.

Третья теорема подобия. До сих пор рассматрива­лись свойства подобных между собой явлений, когда подобие уже существует. Однако возможна и обратная постановка вопроса: какие условия необходимы и достаточны, чтобы явления были подобны. На такой вопрос дает ответ третья теорема подобия, которая формулируется так: подобны те явления, условия одно­значности которых подобны, и критерии, составленные из усло­вий однозначности, численно одинаковы.

На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить критерии, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Такие критерии называются опреде­ляющими. Инвариантность (одинаковость) определяющих крите­риев является условием, которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же критериев, составленных из других величин, не входящих в условия однозначности, так называемых неопределяющих критериев, получается сама собой, как следствие установившегося подобия.

Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференци­альных уравнений, получить из них критерии подобия и, используя опытные данные, установить критериальные зависимости, которые справедливы для всех подобных между собой процессов. Однако такие обобщенные зависимости ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пре­делы этих ограничений. Всегда нужно помнить, что общего реше­ния теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщать опыт­ные данные в области, ограниченной условиями подобия. Поэто­му результаты отдельного опыта закономерно распространять только на подобные между собой явления и процессы.

При постановке любого эксперимента всегда необходимо за­ранее знать: 1) какие величины надо измерять в опыте; 2) как обрабатывать результаты опыта; 3) какие явления подобны изу­чаемому. На эти три вопроса ответ содержится в изложенных выше трех теоремах подобия.

На первый вопрос о том, какие величины надо измерять в опыте, отвечает первая теорема: в опытах нужно измерять все те величины, которые содержатся в критериях подобия изучаемо­го процесса.

На второй вопрос о том, как обрабатывать результаты опыта, отвечает вторая теорема: результаты опыта необходимо обраба­тывать в критериях подобия и зависимость между ними пред­ставлять в виде критериальных уравнений.

На третий вопрос о том, какие явления подобны изучаемому, ответ дает третья теорема: подобны те явления, у которых по­добны условия однозначности и равны определяющие критерии.

Благодаря этим ответам теория подобия по существу является теорией эксперимента. Ее значение особенно велико для тех дисциплин, которые базируются на эксперименте. Именно та­ковым в основном является учение о теплообмене.