Основной закон теплопроводности

 

Понятие теплопроводности охватывает собой процесс распро­странения тепла путем непосредственного соприкосновения меж­ду частицами тела. При этом в газах перенос энергии осуще­ствляется путем диффузии молекул и атомов, а в жидкостях и твердых телах диэлектриках - путем упругих волн. В металлах перенос энергии, в основном, осуществляется путем диффузии сво­бодных электронов, аfзии сво­бодных электронов, и роль упругих колебаний кристаллической решетки здесь имеет второстепенное значение.

Процесс распространения тепла вообще и процесс теплопро­водности в частности неразрывно связан с распределением тем­пературы. Поэтому прежде всего нам необходимо установить связанные с этим понятия температурного поля и температурно­го градиента.

1. Температурное поле. Температура, как известно, является параметром состояния тела и характеризует уровень внутренней энергии тела. В общем случае температура t является функцией коор­динат х, у, zи времени τ, т. е.

t = f(x, y, z,τ) (1)

Совокупность значений температуры в данный момент време­ни для всех точек пространства называется темпера-турным по­лем. Уравнение (1) является математической фор-мулировкой температурного поля. При этом, если температура зависит от времени, то поле называется неустановившимся или нестационарным и имеет вид (1). Если же температура во времени не меняется, то поле называется установившимся или стационарным и имеет вид t = f(x, y, z).

Температурное поле может быть функцией трех, двух и од­ной координаты. Соответственно оно называется трех-, двух- и одномерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одно-

 

мерно­го стационарного температурного поля:

t = f(x) (2)

2. Температурный градиент. Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, образует изотермическую по­верхность. Так как в одной и той же точке пространства одно­временно не может быть двух различных температур, то изотер­мические поверхности разных температур друг с другом не пере­секаются. Все они или замыкаются на себя, или кончаются на границах тела.

Изменение температуры в теле наблюдается лишь в направ­лениях, пересекающих изотермические поверхности (направле­ние х рис.1). При этом наиболее резкое изменение получается в направлении нормали п к изотермическим поверхностям.

Рис. 1 К определению темпера- Рис. 2. Закон Фурье

турного градиента

 

Предел отношения изменения температуры Δt к расстоя -

нию между изотермами по нормали Δ п называется темпера-турным градиен­том, который обозначается одним из следу-ющих символов:

, К/м (3)

Температурный градиент является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности. Его положительным направлением считается направление в сторону возрастания тем­пературы. Значение температурного градиента, взятое с обрат­ным знаком, называют падением температуры.

3. Тепловой поток. Тепловая энергия распространяется все­гда только в сторону убывающей температуры. Количество теплоты Q в системе СИ определяется в Дж.

Тепловым потоком называется количество теплоты Q, передаваемой в единицу времени

, Дж/с = Вт (4)

Плотностью теплового потока называется количество теплоты Q, проходящее в единицу времени через единицу поверхности

, Дж/м²·с = Вт/м² (5)

Величина Q (а также q) является вектором, направление которого совпадает с направлением распространения тепла и противоположно направлению вектора температурного градиента (рис. 2).

4. Закон Фурье. Изучая явление теплопроводности в твердых телах, Фурье установил, что количество переданного тепла про­порционально градиенту температуры, времени и площади сечения, перпендикулярного направ­лению распространения теп­ла.

, Дж (6а)

Если количество пере­данного тепла отнести к единице времени, то установленную зависимость можно записать, так:

, Вт (6в)

Если количество пере­данного тепла отнести к единице времен и единице поверхности, то закон Фурье будет иметь вид

, Вт/м² (6с)

Уравнение (6) являет­ся математическим выраже­нием основного закона рас­пространения тепла путем теплопроводности - закон Фурье.

5. Коэффициент тепло­проводности. Коэффициент пропорциональности λ в уравнении (6) называется коэффициентом теплопроводности. Он является физическим параметром вещества и характеризует собой способность вещества проводить тепло:

, Вт/м К (7)

Следовательно, величина коэффициента теплопроводности определяет собой количество тепла, которое проходит в единицу времени через единицу поверхности при падении температуры в1° С на единицу длины.

Для различных веществ коэффициент теплопроводности раз­личен и для каждого из них зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры. Все вместе взятое силь­но затрудняет выбор правильного значения коэффициента тепло­проводности.

При технических расчетах значения коэффициента теплопроводности обычно выбираются из справочных таблиц. При этом надо следить за тем, чтобы физические характеристики ма­териала (структура, плотность, влажность, температура) бы­ли соответственны.

Для ответствен­ных расчетов значения коэффициента теплопроводности определять путем лабораторного изучения применяемого мате­риала.

Так как при распространении тепла температура в различных частях тела различна, то в первую очередь важно знать зависи­мость коэффициента теплопроводности от температуры. Как показал опыт, для подавляющего большинства материалов полу­чается линейная зависимость, т. е.

λ = λ_о (1+ bt), (8)

где λ_о - значение коэффициента теплопроводности при 0°С

и b - постоянная, определяемые опытным путем.

В практических расчетах значение коэффициента теплопроводности обычно определяется по среднеарифметической из граничных значений температуры тела, и это значение принимается постоянным в рассматриваемом интервале температур.

Рис. 3 λ= f(t) различных газов: 1 - водяной пар; 2 - кислород; 3 - углекислота; 4 - воздух; 5 – азот; 6 - аргон

λ · 10^2 Вт/м К

Коэффициент теплопроводности газов лежит в пределах значений от λ = 0,005 до λ = 0,5 Вт/м К. С повышением температуры λ возрастает (рис.3), от давления практически не зави­сит, за исключением очень высоких (больше 2000 бар) и очень низких (меньше 20 мм рт. ст.) давлений.

Коэффициент теплопроводности капельных жидко­стей лежит в пределах от λ = 0,08 до

λ = 0,6 Вт/м К. С по­вышением температуры для большинства жидкостей λ убывает (рис.4); исключение составляют лишь вода и глицерин. Для неассоциированных жидкостей (бензол, толуол, ксилол и другие углеводороды) значение коэффициента теплопроводности жидкостей можно определить по следующим формулам

, (9)

где

, (10)

где λ - коэффициент теплопроводности, Вт/м К;

γ - плотность, кг/м³; теплоемкость, Дж/кг К;

М - молекулярный вес;

индексом о отмечены значения величин при 20 °С.

 

l ·10^2, Вт/м К

t ^оС

Рис. 4 λ= f(t) различных капельных жидкостей

1- глицерин безводный; 2- муравьиная кислота; 3 – метиловый спирт; 4- этиловый спирт; 5 - касторовое масло; 6 - анилин; 7 - уксусная кислота; 8 - ацетон; 9 - бутиловый спирт; 10 - нитробензол; 11- изопропан, спирт; 12 - бензол; 13 - толуол; 14 - ксилол; 15 - вазелиновое масло.

 

Коэффициент теплопроводности огнеупорных и изоляционных материалов имеет значение в пределах от λ = 0,02 до λ = 2,5 Вт/мК.С повышением температуры он возра­стает (рис.5). Как правило, для мате­риалов с большим объемным весом коэф­фициент теплопроводности имеет более высокие значения. Он зависит также от структуры материала, его пористости и влажности.

Для влажного материала коэффициент теплопроводности значительно выше, чем для сухого и воды в отдельности. Так, например, для сухого кирпича λ =0,3, для воды λ = 0,5, а для влажного кирпича λ = 0,9 Вт/м К. Это явление вызы­вает необходимость особого внимания как при определении коэффициента теплопро­водности, так и при расчете теплопере­дачи.

l, Вт/м К

^оС

Рис. 5. λ= f(t) различных изоляционных и огнеупорных материалов:

1- воздух; 2 - минеральная вата, γ =160 кг/м³; 3 - шлаковая вата, γ = 200 кг/м³; 4 - керамоволокнистый материал, γ = 130 кг/м³; 5 - покрытие из керамического волокна, γ = 160 кг/м³; 6- диатомовый кирпич, γ = 550 кг/м³; 7 - красный кирпич, γ = 1672 кг/м³; 8 - шлакобетонный кирпич, γ = 1373 кг/м³;

9 - шамотный кирпич, γ = 1840 кг/м³.

 

Коэффициент теплопро­водности металлов лежит в пределах от λ = 2 до λ =360 Вт/м К. Самым теплопроводным металлом является серебро (λ_о = 360 Вт/м К), затем идут: красная медь (λ_о = 260 Вт/м К), алюминий (λ_о = 180 Вт/м К), железо (λ_о = 75,4 Вт/м К).

Для большинства металлов с повышением температуры коэффициент теплопроводности убывает (табл.1). Особенность сталей состоит в том, что начиная с температур 800-1000 ^оС величина λ вновь возрастает. Величины теплопроводности сталей приведены в таблице 1

При наличии разного рода примесей коэффициент теплопроводности металлов резко убывает. Так, например, для чистой меди λ = 340 Вт/м К, для той же меди, но со следами мышьяка, λ = 122 Вт/м К.

Таблица. 1 - Теплопроводность отожженных углеродистых сталей, Вт/м К.

 

Марка стали	Темпера-тура, отжига, ^оС	Температура, ^оС
А	Б
Сталь 08 Сталь 10 Сталь 15 Сталь 20 Сталь 35 Сталь 40 Сталь 45 Сталь 45 Сталь У8 Сталь У8 Сталь У9 Сталь У12 Сталь У12		65,1 59,5 52,3 51,9 47,9 51,9 48,1 45,9 50,4 44,2 48,7 47,4 45,2	62,8 58,6 53,2 51,5 48,8 51,5 48,1 46,7 49,8 45,6 49,3 49,0 45,2	60,2 57,7 53,4 51,0 49,4 50,6 48,1 47,8 48,6 46,3 48,8 49,4 44,8	57,7 55,2 53,6 49,9 49,3 49,8 47,7 46,7 47,3 46,6 49,0 49,1 43,4	55,6 53,5 53,3 48,5 49,1 48,1 46,5 47,1 45,6 46,3 48,3 49,0 42,7	53,0 51,5 51,6 46,5 48,0 46,9 45,1 45,9 43,5 44,9 46,7 47,6 41,0	50,9 49,4 49,3 44,4 46,5 45,6 44,0 44,8 41,6 43,4 45,8 46,2 40,2	48,5 47,7 47,6 43,6 45,0 44,3 43,0 43,1 40,2 42,1 44,4 45,1 38,5	46,5 44,8 46,0 42,7 43,7 41,9 41,0 41,9 38,3 40,7 42,9 43,6 37,2	43,4 42,3 44,3 41,0 42,0 40,0 39,8 40,0 36,6 39,2 41,2 41,6 36,0	41,0 40,2 42,8 39,3 40,6 38,1 38,5 38,6 35,4 37,6 39,9 40,0 34,6

Продолжение таблицы 1

 

Температура, ^оС
39,4 38,1 41,0 37,7 39,3 36,0 39,6 37,2 34,2 36,3 38,5 38,2 33,5	37,4 36,0 39,1 35,6 37,9 33,5 36,0 35,7 33,0 34,9 36,9 36,9 32,0	36,0 34,0 37,4 33,9 36,3 32,0 36,3 34,0 31,7 33,4 35,0 - 30,0	34,0 31,9 35,7 31,9 34,8 30,0 31,4 32,7 30,4 32,2 32,8 - 28,3	31,9 29,8 33,7 28,5 30,0 27,0 28,5 26,3 27,1 27,4 - - 27,00	30,1 28,5 32,1 25,9 28,6 24,8 26,7 25,0 24,3 26,2 - - 23,7	27,7 27,2 29,8 25,9 28,1 24,8 25,5 24,7 24,3 26,8 - - 23,7	27,2 26,7 29,5 26,4 28,0 25,7 25,9 24,5 25,4 - - - 24,8	27,2 27,2 29,1 27,2 - 26,0 25,9 - 26,2 - - - 25,7	27,2 27,7 28,8 27,7 - 26,9 26,7 - 26,9 - - - 26,0	28,0 28,0 - 28,0 - 27,2 27,2 - 27,7 - - - 26,9	28,5 28,5 - 28,5 - 28,0 28,0 - 28,6 - - - 27,2	29,3 29,3 - 29,3 - 28,7 29,0 - 29,0 - - - 28,0	29,8 29,8 - 29,8 - 29,5 29,8 - 29,8 - - - 28,6