Теплопроводность. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.

Необходимым условием распространения теплоты являетсянеравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде. Таким образом, для передачи теплоты теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела.

Закон Фурье:

Согласно закону Фурье количество теплоты проходящий через элемент изотермической поверхности за промежуток времени , пропорционально температурному градиенту

,

где – коэффициент пропорциональности есть физический параметр вещества и называется коэффициентом теплопроводности, Вт/(м·°C); – элементарная площадь поверхности теплообмена, м²; – временной промежуток, сек.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности , называется плотностью теплового потока.

Коэффициент теплопроводности

Под коэффициентом теплопроводности понимают тепловой поток, передаваемый через единичную поверхность при единичном значении температурного градиента

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности.

Распределение температуры в теле, описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое при принятых допущениях, а именно: тело однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:

,

где – время, сек; – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, ;

– теплоемкость тела, ; – плотность тела, кг/м³; – объемная плотность тепловыделения, Bm/м³; – оператор Лапласа.

Чтобы получить конкретное решение дифференциального уравнения для рассматриваемого случая, необходимо ввести полное математическое описание данного конкретного процесса теплопроводности. Эти частные особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями, включающими:

· геометрические условия (форма, размеры тела);

· Физические условия (физические свойства тела и его физические параметры);

· Начальные условия (распределение температуры в теле в начальный момент времени);

· Граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела, как функция координат и времени

где -температура поверхности тела.

В частном случае, если температура поверхности тела постоянна выражение имеет вид .

2. Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности теплового потока на поверхности тела, как функция координат и времени

.

В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем .

3. Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

если .

Это уравнение выражает закон Ньютона-Рихмана. Теплота, воспринятая поверхностью тела, распространяется в нем по закону Фурье. Следовательно, где – коэффициент теплообмена, представляющий собой плотность теплового потока подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды 1К, Вm/(м²К)

.

Индекс “ с” означает, что температурный градиент относится к поверхности тела.

.

Уравнение является аналитическим выражением граничных условий третьего рода.

4. Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел имеющих различные значения коэффициентов теплопроводности. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда

,

где – коэффициент теплопроводности первого тела; – коэффициент теплопроводности второго тела.