Определение коэффициента внутреннего трения и средней длины

Лабораторная работа 1.

Определение коэффициента внутреннего трения и средней длины

Свободного пробега молекул воздуха.

 

Цель работы: экспериментальное определение коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха.

 

Теоретическое введение

 

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин «столкновение» не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твердых шаров. Под столкновением молекул подразумевается процесс их взаимодействия, в результате которого изменяются направление движения и модуль скорости молекул.

Взаимодействие между молекулами характеризуется их взаимной потенциальной энергией . На рис. 1 приведена кривая зависимости двух молекул от расстояния между центрами молекул. Центр первой молекулы помещается в начале координат (в точке 0), центр второй молекулы перемещается вдоль оси . В скобках проставлена температура , соответствующая начальной скорости второй молекулы.

Из механики известно, что сила действует в направлении убывания потенциальной энергии т.е. или . Следовательно, на участке от до бесконечности между молекулами действует сила притяжения, которая при сменяется быстро возрастающей силой отталкивания.

Пусть вторая молекула начинает движение в направлении к первой из бесконечности, имея запас кинетической энергии

на бесконечности равна нулю . По мере приближения к первой молекуле кинетическая энергия второй молекулы возрастает, (потенциальная энергия уменьшается), достигает максимума при после чего начинает быстро убывать. Когда потенциальная энергия молекулы становится равной начальной энергии , молекула останавливается. Затем молекулы будут двигаться в обратном направлении.

Минимальное расстояние , на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы . На рисунке видно, что, чем больше начальная кинетическая энергия молекулы (т.е. чем выше температура), тем меньше .

Величина

(1)

называется эффективным сечением молекулы

Силы притяжения на участке от до бесконечности малы, а силы отталкивания при напротив, очень велики. Это дает основание рассматривать соударение молекул, как столкновение не взаимодействующих на расстоянии твердых упругих шаров диаметра .

Воспользуемся этой моделью шаров для нахождения средней длины свободного пробега молекул, т.е. среднего расстояния проходимого молекулой между двумя последовательными соударениями с другими молекулами.

Сначала найдем число столкновений в единицу времени одной движущейся молекулы с остальными неподвижными . В единицу времени молекула проходит путь, равный в среднем .

Движущаяся молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра, радиус сечения которого равен эффективному диаметру молекул . Число столкновений z равно числу молекул n в этом цилиндре, т.е.

(2)

 

где n -число молекул в единице объема; - объем цилиндра, равный

(3)

подставив (3) в (2) получим выражение:

(4)

Теория вероятности позволяет подсчитать, что если учесть движение всех молекул, то число столкновений будет в раза больше полученного нами в предположении, что движется лишь одна молекула. Итак:

(5)

где – среднеарифметическая скорость молекулы.

Среднюю длину свободного пробега молекул можно получить, если весь путь, пройденный молекулой за единицу времени, разделить на число соударений в единицу времени, т.е.

(6)

С учетом (5) получим

(7)

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории может быть записано в форме:

(8)

Если подставить значение n из формулы (8) в (7), получим

(9)

Здесь - постоянная Больцмана, - термодинамическая температура, - давление газа.

Из формулы (9) видно, что средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению, т.е.

(10)

Эта зависимость используется при получении вакуума.

Средняя длина свободного пробега молекул связана коэффициентами переносов. К явлениям переноса относятся теплопроводность, диффузия и внутреннее трение (вязкость). Уравнение этих явлений переносов сходны между собой. Мы рассмотрим явления внутреннего трения (вязкости) которое, как показал опыт, подчиняется закону И. Ньютона.

 

Рассмотрим ламинарный поток вязкой жидкости по горизонтальному руслу. Ламинарные течения жидкости возникают, когда жидкость течет медленно. В этом случае течение имеет слоистый, тихий характер.

Слой, “прилипший” ко дну неподвижен. По мере удаления от дна скорость жидкости увеличивается. Максимальная скорость жидкости будет у слоя, который граничит с воздухом. Со стороны слоя который движется быстрее, на слой который движется медленнее, действует ускоряющая его сила. Эти силы, направленные по касательной поверхности слоя, называют силами внутреннего трения. Они тем больше, чем больше площадь соприкасающихся слоев и зависит от изменения скорости течения жидкости (газа) при переходе от слоев к слою (уравнение Ньютона):

(11)

Так как разделение на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости, приходящегося на единицу длины в направлении, перпендикулярном скорости, то есть от величины , называемой градиентом скорости (gradu).

Здесь h - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью который численно равен потоку импульса через поверхности , при градиенте скорости, равном единице. Вязкость зависит от химического состава, примесей и температуры. В системе вязкость измеряется или, что то же самое, в паскаль – секундах

Если вывести опытный закон Ньютона (11) из молекулярно- кинетической теории, то получается выражение для коэффициента вязкости, т.е.

(12)

где – плотность газа, - среднеарифметическая скорость молекул газа, - средняя длина свободного пробега молекул.

Если определить коэффициент внутреннего трения (вязкость) экспериментально, то по формуле (12)можно вычислить .

 

Порядок выполнения работы

 

1. Аспиратор наполняют водой до отмеченной метки .

2. Открывают кран 5, в результате давление в аспираторе понижается и через капилляр засасывается воздух, проходящий через осушительный фильтр.

3. Когда, установится стационарное течение (при этом разность уровней жидкости в манометре будет постоянной), включить секундомер.

4. После того, как вытечет 1 или 1,5л воды, выключить

секундомер и определить .

5. Измерить , и , в .

6. Измерить длину и диаметр капилляра, а затем определить

его радиус (для нашей установки ).

7. Измерить температуру воздуха.

8. Объем воздуха , прошедшего за время через капилляр, определяется по шкале аспиратора, градуированной в литрах.

9. Измерения произвести три раза.

10. Разность давлений на концах капилляра определяется по формуле , где – плотность воды, равная ;

- ускорение силы тяжести, равное .

11. Вычислить коэффициент внутреннего трения по формуле(14).

12. Вычислить среднюю длину свободного пробега по формуле (18).

13. Вычислить погрешности измерений по формулам:

(19)

(20)

Здесь погрешности заданных величин не учтены.

14.Вычислить по формулам: .

15. Все измерения и вычисленные величины записать в таблицу.

 

№

Ср

16.Окончательный результат измерений записать вследующем виде:

 

Контрольные вопросы.

 

1. Как понимаете процесс столкновений молекул друг с другом?

2. Какие силы действуют между молекулами?

3. Что такое эффективный диаметр и эффективное сечение молекулы?

4. Как определяется число соударения молекул?

5. Что такое средняя длина свободного пробега молекул и по какой формуле она определяется?

6. Напишите основное уравнение молекулярно–кинетической теории для давления?

7. Напишите опытный закон Ньютона для вязкости и коэффициент вязкости, полученный из молекулярно–кинетической теории.

8. В каких единицах измеряется коэффициент вязкости в системе СИ?

 

 

Лабораторная работа 2

Теоретическое введение

 

Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей

степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкость.

В жидкостях внутреннее трение обусловлено действием межмолекулярных сил.

Расстояние между молекулами жидкости сравнительно невелики, а силы взаимодействия значительны. Молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положения равновесия, по истечении некоторого времени молекула скачком переходит в новое положение. Это время называется временем ''оседлой жизни" молекулы. Среднее время "оседлой жизни" молекул называется временем релаксации. С повышением температуры и понижением давления время релаксации уменьшается, что обусловливает подвижность жидкости и ее малую вязкость. Зависимость вязкости жидкости от температуры имеет сложный характер; чем чаще молекулы меняют свое положение равновесия, тем более текуча и менее вязка жидкость, Т. е. вязкость жидкости прямо пропорционально времени релаксации.

Механизм возникновения сил внутреннего трения (вязкости), с точки зрения молекулярно – кинетической теории заключается в следующем. В потоке жидкости молекулы участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна , и упорядоченном движении со скоростью потока . Скорость намного меньше, чем , т.е. (). При рассмотрении внутреннего трения нас будет интересовать средний импульс молекулы в потоке жидкости .

Предположим, что имеются два соприкасающихся слоя жидкости, движущихся параллельно друг другу с различными скоростями и . При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других, возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Пусть в некоторый момент времени слои обладают импульсами и . Вследствии теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. Попав в другой слой, молекула претерпевает столкновения с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося быстрее), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она “прилетела” из слоя, движущегося медленнее). В итоге импульс слоя, движущегося быстрее убывает, а слоя, движущегося медленнее, возрастает. Следовательно, слои ведут себя так, как если бы к слою, скорость которого больше, была приложена сила тормозящая его движение, а к слою скорость которого меньше – такая же по модулю сила, ускоряющая его движение. Таким образом, причиной возникновения вязкости (внутреннего трения) является перенос импульса от одного слоя к другому. Экспериментально установлено, что модуль силы внутреннего трения, приложенный к площадке , лежащий на границе между слоями определяется формулой

(1)

где – площадь на границе между слоями поверхности, на которой действует сила . Величина – показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении , перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. В этой формуле – коэффициент пропорцианальности, зависящий от природы и состояния жидкости, называется вязкостью.

Это уравнение (1) было установлено Ньютоном в 1687г и называется законом Ньютона. Согласно второму закону Ньютона сила равна производной импульса по времени. Поэтому уравнение (1) можно представить в виде

(2)

где - импульс, передаваемый от слоя к слою, т.е. поток импульса через поверхность . Знак минус в этой формуле обусловлен, тем обстоятельством, что импуль “течет” в направлении убывания скорости

. Поэтому знаки потока импульса и производной противоположны. Здесь вязкость показывает, какое количество импульса (поток импульса) переносится через единицу площади за единицу времени при градиенте скорости, равном единице.

Вязкость измеряется в килограммах на метр секунду или в паскаль–секундах т.е. . Экспериментальную формулу Ньютона (2) можно вывести с помощью молекулярно – кинетической теории. При этом получается выражение для вязкости

(3)

здесь – средняя скорость теплового движения молкул, – средняя длина свободного пробега молекул, – плотность жидкости или газа. Вязкость является важной физико- технической характеристикой вещества и зависит от температуры и от природы вещества. С повышением температуры вязкость уменьшается.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Установить стеклянный цилиндр по отвесу.

2. Измерить диаметр шарика при помощи микрометра.

3. Установить верхнюю метку , бросая шарик в цилиндр вдоль его оси. 4. Верхняя отметка должна быть на ниже уровня жидкости, чтобы шарик успел приобрести постоянную скорость .

5. Определить скорость равномерного падения шарика .

Для этого измерить расстояние между двумя метками и опустив шарик в цилиндр определить при помощи секундомера время прохождения шариком этого расстояния.

6. Вычислить коэффициент вязкости по формуле (7).

7. Вычислить погрешность измерения по формуле (8)

.

Вычислить абсолютную погрешность по известной относительной погрешности

8. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу

 

№
Ср.

 

9.Окончательный результат измерений записать в виде:

10.В отчете указать температуру, при которой производилось измерение коэффициента вязкости и сделать анализ результатов.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие процессы называют явлениями переноса?

2. Объяснить механизм возникновения вязкости (сил внутреннего трения) из молекулярно– кинетической теории.

3. Дать определение вязкости.

4. В каких единицах измеряется вязкость в системе ?

5. Какие силы действуют на шарик при его движении в жидкости, и какова природа этих сил?

6. В чем суть метода Стокса?

 

 

Лабораторная работа 3

Теоретическое введение

 

Теплопроводность, обусловлена переносом энергии, является одним из трех существующих в природе явлений переноса. Теплопроводностью обладают все вещества: газы, жидкости и твердые тела. В твердых телах в отличии от газов и жидкостей невозможна конвекция, поэтому перенос тепла осуществляется только теплопроводностью.

Теплота в твердых телах передается колебаниями кристаллической решеткой. Если при данной температуре один из узлов решетки колеблется с амплитудой , то он будучи связан со своими соседями, будет действовать на них, вызывая увелечение амплитуды колебаний этих соседних частиц. Таким образом энергия тепловых колебаний передается от одного узла решетки к другому посредством установления волнового процесса.

В металлах в отличии от диэлектриков перенос теплоты осуществляется не только кристаллической решеткой, но и свободными электронами. Поэтому теплопроводность металлов в общем случае складывается из теплопроводности решетки и теплопроводности , обусловленой свободными электронами: . Металлы отличается хорошей теплопроводностью, которая осуществляется в основном за счет переноса энергии свободными электронами т.е. и поэтому .

Теплопроводность имеет место тогда, когда концы металлического стержня поддерживаются при разных температурах. При этом в стержне возникает непрерывный поток теплоты. Каждый узел (ион) колеблется с меньшей амплитудой, чем соседний с ним со стороны более нагретого конца, и с большей амплитудой, чем соседней с ним со стороны менее нагретого конца, и с большей амплитудой.

Количественно тепловой поток через поперечное сечение стержня при градиенте температуры можно рассчитать по известной формуле Фурье:

(1)

Коэффициент пропорциональности в этой формуле есть коэффициент теплопроводности. Он численно равняется количеству тепла, прошедшего через единицу площади за единицу времени при градиенте температуры, равному единице (площадка перпендикулярна оси ). – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины в направлении нормали к площадке . Знак минус в формуле (1) показывает, что энергия переносится в сторону убывания температуры. В связи с чем знаки и , противоположны. В системе коэффициент теплопроводности измеряется или в ваттах на метр кельвин ). Экспериментальную формулу теплового потока (1) можно вычислить из молекулярно- кинетической теории. По этой теории свободные электроны в метталлах рассматриваются как электронный газ, частицы которого обладают тремя степенями свободы, т.е. ведут себя как одноатомный газ, и их движение подчиняется всем законам идеального газа. Если температура (металла) газа в разных местах различна, то и средняя энергия электрона также будет различной. Перемещаясь вследствии теплового движения из одних мест в другие, электроны переносят запасенную ими энергию, что и обуславливает процесс теплопроводности.

Формула теплового потока полученная из молекулярно- кинетической теории полностью совпадает с уравнением (1). При этом получается выражение для коэффициента теплопроводности металлов:

(2)

Здесь – плотность газа, – средняя скорость теплового движения электрона, - средняя длина свободного пробега электрона, - удельная теплоемкость электронного газа постоянном объеме.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Сосуд заполнить водой примерно наполовину, а сосуд

заполните полностью из водопровода.

2. В сосуде с помощью электрической плитки (или

электрического кипятильника) довести воду до кипения и поддерживать это состояние в течение всей работы. Через 5-6- мин после начала кипения воды в сосуде начать наблюдение за тем, равномерно ли идет нагревание воды в калориметре . Для этого нужно слить воду из калориметра налить свежую из водопровода, вставить термометр и в течении 3-5 мин. наблюдать повышение температуры воды в калориметре. Эту операцию надо повторить три раза. Если все три раза температура повышается примерно одинаково, то стационарность теплового потока можно считать достигнутой.

3. Быстро залить в освобожденный калориметр заранее

подготовленные 150-200 г воды, взятой при температуре она на 4-5 С ниже комнатной, и пустить секундомер (воду надо помешивать).

4. Наблюдение прекратить, когда температура воды в калориметре

сделается на выше комнатной. Остановить секундомер и записать конечную температуру .

5. Температуру кипения воды определить из таблицы. “Зависимость температуры кипения воды от давления” при атмосферном давлении, отсчитанном по барометру.

6. Опыт повторить три раза

7. Вычислить коэффициент теплопроводности стержня по формуле(6)

Вычислить погрешность измерений по формуле:

Вычислить по известной

8. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

 

№   п/п

Ср

 

9. Погрешности заданных величин S,C,l не учтены.

10. Окончательный результат измерений записать в виде и сделать анализ результата.

 

Контрольные вопросы

 

1. Как осуществляется теплоперенос в металлах?

2. Дайте определение коэффициенту теплопроводности.

3. Как объясняет теплопроводность металлов молекулярно - кинетическая теория газов?

 

 

Лабораторная работа 4

Теоритическое введение

 

Из молекулярно- кинетической теории газов известно, что

беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемещению частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности. При этом в газе появляются особые процессы, объединенные общим названием явлений переноса. В природе существует три явления переноса, в результате которых происходит перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относится теплопроводность (она обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Закономерности всех явслений переноса сходны между собой. Эмпирические (т.е. основывающиеся на опыте) уравнения указанных процессов применимые к любым средам (твердым, жидким и газообразным) сходны. Так, перенос массы вещества при явлении диффузии подчиняется закону А.Фика:

(1)

Величина характеризующая изменение плотности на единицу длины в направлении , пертепдикулярном к площадке называется градиентом плотности. Коэффициент диффузии есть физическая величина численно равная потоку массы , проходящему в единицу времени через поверхность при градиенте плотности равном единице. Поток массы измеряется в , плотность – в , поверхность в , координата Z– в метрах. Следовательно, коэффициент диффузии измеряется в т.е. имеет размерность квадрата длины, деленного на время.

Уравнение определяющее силу внутреннего трения (вязкость) в газах и жидкостях было установлено И. Ньютоном и называется законом Ньютона:

(2)

В этой формуле – называется коэффициентом вязкости или внутреннего трения. Коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости равном единице; -площадь, лежащая на границе между слоями поверхности, по которой действует сила .

Отношение – величина, показывающая, как быстро изменяется скорость течения жидкости или газа в направлении , перпендикулярном к направлению движения слоев, называется градиентом скорости .

 

Согласно второму закону Ньютона сила равна производной импульса по времени. Поэтому уравнение (2) можно представить в виде

(3)

где – импульс, передаваемый от слоя к слою, т.е., поток импульса, через поверхность . Знак минус, указывает, что импульс «течет» в направлении убывания скорости u.