Закон джоуля – ленца. Закон видемана – франца.

Определим, чему равно среднее значение квадрата результирующей скорости к концу свободного пробега электрона:

 

= = .

 

Среднее значение вектора тепловой скорости равно нулю, т.к. все его направления равновероятны. Тогда

 

.

 

Следовательно, при упорядоченном движении кинетическая энергия электрона увеличивается в среднем на величину

 

. (12)

 

При столкновении с ионом электрон передаёт всю эту энергию кристаллической решетке. Данная энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании.

Каждый электрон претерпевает зам единицу времени число соударений, равное , при каждом из которых решетке передаётся энергия, определяемая формулой (). В результате в единице объёма за единицу времени выделится количество теплоты, равное

 

. (13)

 

Эта величина и есть удельная мощность тока. Множитель при Е² совпадает с выражением () для . Таким образом, мы получили закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:

 

. (14)

 

Из опыта известно, что металлы отличаются не только высокой электропроводностью, но также и высокой теплопроводностью. Видеман и Франц установили эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре.

Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы. Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в основном свободными электронами, а не кристаллической решеткой.

Рассматривая электроны как идеальный одноатомный газ, можно использовать формулу для коэффициента теплопроводности, известную из кинетической теории газов:

 

ϰ = , (15)

 

где - плотность газа, - его удельная теплоемкость. Если М – молярная масса газа, то Подставляя это значение в формулу (15), получим:

 

ϰ = .

 

Разделив это выражение на выражение (7) для , получим:

 

ϰ/σ = .

 

Сделав замену , получим:

 

ϰ/σ = , (16)

 

Это и есть закон Видемана - Франца. Подставив численные значения, получим:

 

ϰ/σ = 2,23∙10^-8 Т. (17)

 

Затруднения классической теории электропроводности металлов

При Т = 300 К из формулы (17) следует, что для отношение ϰ/σ равно 6,7∙10^-6 . Данное значение хорошо согласуется с экспериментальными данными. Однако, как выяснилось, полученное совпадение оказалось случайным. Лоренц уточнил теорию, приняв во внимание распределение электронов по скоростям. Полученное таким путем отношение ϰ/σ оказалось равным , что плохо согласуется с опытными данными.

Из формулы (10) следует, что удельное сопротивление металлов должно возрастать при росте температуры пропорционально . Действительно, согласно классической физике нет никаких оснований предполагать, что величины и изменяются с изменением температуры. А вот скорость теплового движения изменяется пропорционально . Поэтому и . Этот вывод противоречит опытным данным, согласно которым при температурах выше 300 К удельное сопротивление металлов изменяется пропорционально Т.

Ещё одно затруднение классической теории связано с тем, что согласно ей электронный газ должен обладать молярной теплоемкостью, равной . Добавляя эту величину к теплоемкости решетки, равной 3 R, получим для молярной теплоемкости металлов величину, равную . Это в 1,5 раза выше, чем для диэлектрических кристаллов. Однако из опыта следует, что молярные теплоемкости кристаллов металлов и диэлектриков не отличаются заметно друг от друга.

Указанные затруднения были устранены в квантовой теории. Основы её были разработаны Я.И. Френкелем и А. Зоммерфельдом.

Хотя классическая теория и не способна устранить указанные затруднения, она всё же используется до настоящего времени, так как дает вполне удовлетворительные результаты в случае небольших концентраций свободных электронов, что имеет место в невырожденных полупроводниках. Вместе с тем по сравнению с квантовой теорией классическая обладает значительной простотой и наглядностью.