Основы классической теории электропроводности металлов Друде – Лоренца.

Многочисленные опыты показали, что носителями тока в металлах являются свободные электроны, способные перемещаться по металлу практически свободно. Существование свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются слабее всего связанные с ядром валентные электроны, которые становятся «коллективной собственностью» всего кристалла. Число электронов в единице объема рано числу атомов, находящихся в нём, умноженному на число валентных электронов, отщепленных от каждого атома.

Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию электропроводности металлов, которую затем усовершенствовал Лоренц. В теории предполагается, что электроны проводимости в металлах ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь l, называемый средней длиной свободного пробега. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых ограничивается соударениями молекул друг с другом, электроны сталкиваются преимущественно с ионами кристаллической решетки, а не между собой. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой.

Суммарный заряд электронов проводимости по величине равен суммарному заряду положительных ионов кристаллической решетки, что обусловливает электрическую нейтральность кристалла.

Из-за хаотичности теплового движения электронов всевозможные направленияих скоростей встречаются одинаково часто, поэтому среднее значение вектора тепловой скорости электронов равно нулю. Следовательно, при отсутствии внешнего электрического поля суммарный заряд, переносимый электронами в каком - либо определенном направлении, равен нулю. Это значит, что при данном условии тока в металле нет.

Если же к металлу приложено внешнее электрическое поле определенного направления, то электроны, ускоряемые полем, приобретают составляющие скоростей, направленные в сторону действия сил поля. Эти составляющие налагаются на скоростиих теплового движения. В результате этого все электроны под действием поля смещаются в сторону, противоположную направлению его напряженности, начинается перенос электрического заряда по проводнику, т.е. возникает электрический ток.

Рассмотрим отрезок проводника, поперечное сечение которого равно S (рис. 1). Вектор.напряженности электрического поля направлен вдоль проводника. Каждый из свободных электронов е внутри проводника приобретает направленную против поля среднюю скоростьнаправленного движения, называемую иначе среднюю дрейфовую скорость u.

За промежуток времени длительностью dt через площадку S пройдут все те заряды, которые находятся на расстоянии от площадки S, т.е. все заряды, заключенные в цилиндре объёмом . Если число свободных зарядов (электронов проводимости) в единице объема обозначить через n, то суммарный заряд dq, который пройдет за это время через поперечное сечение проводника, равен:

 

. (1)

 

 

Рис. 1. Дрейф электронов в электрическом поле

 

Величина тока, текущего в проводнике, равна

 

, (2)

 

а плотность тока:

. (3)

 

Найдем среднюю дрейфовую скорость электронов в электрическом поле из следующих рассуждений.

Заряд, помещенный в постоянное электрическое поле с напряженностью , испытывает действие силы и вследствие этого приобретает ускорение . Скорость электронов под действием постоянной силы линейно возрастает со временем. Однако, в конце свободного пробега электрон сталкивается с ионом решетки, отдает приобретеннуюим в поле энергию и его скорость становится равной скорости хаотического теплового движения. Даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного направленного движения электронов под действием электрического поля во много раз (порядка 10⁸) меньше средней скорости теплового движения при обычных температурах. Поэтому при вычислениях модуль результирующей скорости можно заменять модулем скорости теплового движения. Следовательно, время свободного пробега электрона определяется соотношением: где – средняя скорость теплового движения, l -длина свободного пробега, которая имеет тот же порядок величины, что и период кристаллической решётки (l ~ 10^-10 м = 1 Ǻ). К концу свободного пробега максимальная скорость направленного движения электрона равна:

 

. (4)

 

Тогда среднее значение направленной скорости электронов за время пробега равно половине максимального; значения:

 

. (5)

 

Подставляя (5) в (3) получаем:

 

, (6)

 

т.е. закон Ома в дифференциальной форме.

Коэффициент пропорциональности

 

(7)

 

называется удельной электропроводностью металла. Удельную электропроводность металлов можно представить в следующем виде:

 

, (8)

 

где m - подвижность носителей тока. Её размерность равна м²/(В∙с). Из (6) и (8) следует:

 

. (9)

 

Величина, обратная s, называется удельным сопротивлением r:

 

. (10)

 

Если бы электроны не сталкивались с ионами, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Электрическое сопротивление обусловлено соударениями свободных электронов с ионами кристаллической решетки.

В полупроводниках электрический ток обуславливается двумя типами носителей заряда: отрицательными – электронами и положительными – дырками. Поэтому удельную электропроводность полупроводников можно выразить, модифицировав формулу (8):

 

, (11)

 

где e – модуль заряда электрона или дырки, n и p – концентрация электронов и дырок соответственно, а m_-, m₊ - подвижность электронов и дырок соответственно.