Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

и .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если

,

то считаем

.

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

,

.

Тогда

и

То есть . □

 

 

Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

,

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

.

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

.

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

,

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

 

 

Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

.

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

.

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

.

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

.

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

.

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

.

Тогда

.

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

.

Возвращаемся к исходному базису

 

Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если

,

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

.

Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит

То есть и . □

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .

Тогда

.

Откуда , следовательно , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо

.

Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

 

 

Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

.

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

,

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

.

В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим

(1)

При получаем

(2)

В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .

Иначе, положим в (1) , получим

.

Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □

ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .

Обратно, пусть

, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то

.

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть . тогда

.

Но , т. е. . Значит, , т. е. . □