Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.

УДК 512.8

 

 

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

 

 

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев, д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

 

 

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Д. И. Иванов, 2009

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ.

Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

и .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если

,

то считаем

.

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

,

.

Тогда

и

То есть . □

 

 

Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

,

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

.

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

.

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

,

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

 

 

Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

.

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

.

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

.

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

.

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

.

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

.

Тогда

.

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

.

Возвращаемся к исходному базису

 

Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если

,

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

.

Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит

То есть и . □

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .

Тогда

.

Откуда , следовательно , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо

.

Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

 

 

Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

.

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

,

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

.

В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим

(1)

При получаем

(2)

В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .

Иначе, положим в (1) , получим

.

Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □

ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .

Обратно, пусть

, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то

.

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть . тогда

.

Но , т. е. . Значит, , т. е. . □

 

 

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

?

3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж) ?

 

4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) ;

в) .

5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) .

6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними:

а) ;

б) ;

в) .

7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей:

а)

б)

в)

г)

 

д)

е)

8. Какому условию должны удовлетворять и , чтобы матрица была ортогональной?

9. Оператор в некотором ортонормированном базисе задан матрицей . Выяснить, является ли оператор ортогональным, если:

а)

б)

в)

10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?

11. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, если:

а)

б)

в)

12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если:

а)

б)

в)

г)

13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если:

а)

б)

14. Линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в ортонормированном базисе , если:

а)

б)

 

 

в)

Закон инерции.

 

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными способами. Возникает вопрос, что общего у тех различных канонических квадратичных форм, к которым приводится данная форма ? Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переведена в другую невырожденным линейным преобразованием? Ответ на эти вопросы, оказывается, зависит от того, рассматриваются ли комплексные или действительные квадратичные формы.

Рассмотрим вначале произвольные комплексные квадратичные формы, допуская употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Известно, что всякая квадратичная форма oт неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду

,

где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:

при ; при .

Оно приводит форму к виду

, (1)

называемому нормальным; это просто сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Из равенства видно, что нормальный вид зависит лишь от ранга формы . Тогда, если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (1), а затем (1) в , т. к. преобразование, обратное невырожденному, также невырожденное. Таким образом, существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в . Так как, с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то мы приходим к следующему результату:

ТЕОРЕМА 1. Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг. □

 

Из этой теоремы без труда вытекает

СЛЕДСТВИЕ. Каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами. □

Иная ситуация в том случае, когда рассматриваются действительные квадратичные формы и допускаются лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами. В этом случае уже не всякую форму можно привести к виду (1), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Если, однако, мы назовем теперь нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами или , то легко показать, что всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными, коэффициентами к нормальному виду.

В самом деле, форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом (меняя, если нужно, нумерацию неизвестных):

, ,

где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами: