Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные операторы в евклидовом пространстве.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Как уже отмечалось в §1.4 (теорема 3), в унитарном пространстве всякий линейный оператор имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае евклидова пространства это утверждение неверно. Однако имеет место следующая ТЕОРЕМА 1. У всякого линейного оператора в евклидовом пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем в базис . Оператору в этом базисе соответствует матрица . Рассмотрим систему уравнений (1) и будем искать для нее ненулевое решение . Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель равен нулю. Приравняв его нулю, мы получим уравнение ой степени относительно с действительными коэффициентами. Пусть есть корень этого уравнения. Возможны два случая: a) есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа , являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора в базисе , мы можем систему (1) переписать в виде (где столбец из координат вектора ) или , т. е. порождает одномерное инвариантное подпространство. b) , т. е. комплексно. Пусть есть решение системы (1), подставляя эти числа вместо в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим: (2) и соответственно (2') Будем теперь (соответственно ) считать координатами некоторого вектора (соответственно ) в , тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом: (3) Равенства (3) означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами и , инвариантно относительно . □ Если потребовать в доказательстве теоремы, чтобы базис был ортонормированным, а оператор нормальным, то векторы и будут ортогональными. Действительно, если собственное значение, то и также будет собственным значением (как корни многочлена с действительными коэффициентами). Соответствующие собственные векторы , будут ортогональными (теорема 2 §1.4). Тогда . Следовательно, . Докажем теперь, что подпространство векторов , ортогональных векторам и , инвариантно, относительно оператора . Оно является пересечением двух подпространств, ортогональных собственным векторам нормального оператора. Если , т. е. , то . Аналогично, . Рассмотрим ограничение оператора в двумерном подпространстве, порождённом векторами и из доказательства предыдущей теоремы. Матрица оператора в базисе будет: . Представляя комплексное число в тригонометрической форме , придадим матрице следующий вид . Таким образом, оператор есть композиция операторов с матрицами и . Первый из которых соответствует преобразованию подобия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения ; второй поворот в плоскости на угол около начала координат. ТЕОРЕМА 2. (основная о нормальных операторах в евклидовых пространствах). Матрица нормального оператора в евклидовом пространстве имеет клеточно-диагональный вид в подходящем ортонормированном базисе. В клетках порядка 1 находятся действительные числа, а клетки порядка 2 имеют вид . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству теоремы 3 §1.4 о нормальных операторах. Отличие состоит в том, что мы не можем утверждать, что характеристический многочлен всегда имеет действительный корень. Но тогда он имеет 2 комплексно-сопряжённых корня и , которые по теореме 1 позволяют определить подпространство размерности 2, инвариантное относительно , которое порождено двумя ортогональными векторами и . Клетка матрицы ограничения оператора в базисе имеет вид . Так как пространство векторов, ортогональных векторам и так же инвариантно относительно , то осталось воспользоваться индукцией по размерности пространства. □ ТЕОРЕМА 3. (основная об ортогональных операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора клеточно-диагональная с клетками порядка 1 и 2; причём в клетках порядка 1 содержатся числа 1 или -1, а клетки порядка 2 имеют вид , . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения ортогонального оператора (как частного случая унитарного оператора) по модулю равны 1. Действительно, если модули собственных значений чисел и равны 1, то в тригонометрической форме и клетка имеет вид . □ Пример 3. Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство . По теореме 3 для каждого ортогонального оператора пространства можно найти такую ортонормированную систему векторов , что матрица оператора будет иметь один из следующих шести видов: Операторы соответствуют следующим преобразованиям пространства: a) тождественное преобразование; b) зеркальное отображение относительно плоскости ; c) зеркальное отображение относительно прямой ; d) зеркальное отображение относительно точки ; e) вращение на угол около оси ; f) вращение на угол около оси , сопровождаемое зеркальным отображением относительно плоскости . Для симметрических операторов теорема формулируется так же, как и для эрмитовых. Согласно теореме 2 данного параграфа матрица оператора распадается на клетки порядков 1 или 2. При этом клетки порядка 2 появляются только тогда, когда характеристический многочлен оператора имеет комплексные корни. Но характеристические корни симметрических операторов действительны. Следовательно, справедлива ТЕОРЕМА 4. (основная о симметрических операторах). Матрица симметрического оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали. □ ТЕОРЕМА 5. (основная о кососимметрических операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора евклидова пространства имеет клеточно-диагональный вид с клетками порядков 1 или 2; причём в клетках порядка 1 находится число 0, а клетки порядка 2 имеют вид . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения кососимметрического оператора либо 0, либо чисто мнимое число. □ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. 1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ? 2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве : а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ? 3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства : а) б) в) г) д) е) ж) ?
4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный: а) ; б) ; в) . 5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный: а) ; б) . 6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними: а) ; б) ; в) . 7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей: а) б) в) г)
д) е) 8. Какому условию должны удовлетворять и , чтобы матрица была ортогональной? 9. Оператор в некотором ортонормированном базисе задан матрицей . Выяснить, является ли оператор ортогональным, если: а) б) в) 10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной? 11. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, если: а) б) в) 12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если: а) б) в) г) 13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если: а) б) 14. Линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в ортонормированном базисе , если: а) б)
в)
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 391; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.254.177 (0.007 с.) |