Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

 

Теория квадратичных форм берёт своё начало в аналитической геометрии, а именно в теории кривых второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскости, после перенесения начала прямоугольных координат в центр этой кривой, имеет вид

. (1)

Известно, далее, что можно совершить такой поворот осей координат на некоторый угол (величина которого зависит от коэффициентов ), т.е. такой переход от координат к координатам :

(2)

что в новых координатах уравнение нашей кривой будет иметь «канонический» вид

, (3)

в этом уравнении коэффициент при произведении неизвестных равен, следовательно, нулю. Преобразование координат (2) можно толковать, очевидно, как линейное преобразование неизвестных, притом невырожденное, так как определитель из его коэффициентов равен единице. Это преобразование применяется к левой части уравнения (1), и поэтому можно сказать, что левая часть уравнения (1) невырожденным линейным преобразованием (2) превращается в левую часть уравнения (3).

Рассмотрим общий случай, когда число неизвестных вместо двух равно любому , а коэффициенты являются или действительными, или же любыми комплексными числами.

Обобщая выражение, состоящее в левой части уравнения (1), приходим к следующему понятию.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быль любыми комплексными числами.

Считая, что в квадратичной форме уже сделано приведение подобных слагаемых, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы: коэффициент при обозначим через , а коэффициент при произведении для через . Так как, однако, , то коэффициент при этом произведении мог бы быть обозначен и через , т.е. введенные нами обозначения предполагают справедливость равенства

. (4)

Слагаемое можно записать теперь в виде , а всю квадратичную форму в виде суммы всевозможных слагаемых , где и уже независимо друг от друга принимают значения от до :

, (5)

в частности, при получается слагаемое .

Из коэффициентов можно составить, очевидно, квадратную матрицу порядка , она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг рангом этой квадратичной формы. Если, в частности, , т.е. матрица – невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Ввиду равенства (4) элементы матрицы , симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица симметрическая. Обратно, для любой симметрической матрицы гопорядка можно указать вполне определенную квадратичную форму (5) от неизвестных, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Матрица, полученная транспонированием произведения, равна произведению матриц, получающихся транспонированием сомножителей, притом взятых в обратном порядке,

(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если произведение . определено, то будет определено, как легко проверить, и произведение : число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Элемент матрицы , стоящий в ее ой строке и ом столбце, в матрице расположен в ой строке и ом столбце. Он равен, поэтому, сумме произведений соответственных элементов ой строки матрицы и го столбца матрицы , т.е. равен сумме произведений соответственных элементов го столбца матрицы и ой строки матрицы . □

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Матрица тогда и только тогда будет симметрической, когда она совпадает со своей транспонированной, т.е.

. □

Обозначим теперь через столбец, составленный из неизвестных,

.

Транспонируя эту матрицу, получим матрицу

.

Квадратичная форма (5) с матрицей может быть записана теперь в виде следующего произведения:

(7)

Действительно, произведение будет матрицей, состоящей из одного столбца:

.

Умножая эту матрицу слева на матрицу , мы получим «матрицу», состоящую из одной строки и одного столбца, а именно правую часть равенства (5).

Рассмотрим, далее, линейное преобразование переменных , входящих в квадратичную форму .

. (8)

Матрицей этого преобразования будет . Преобразование называется невырожденным, если матрица невырожденная. При этом считаем, что если форма действительная, то и элементы матрицы должны быть действительными.

Обозначая через столбец из неизвестных , запишем линейное преобразование (8) в виде матричного равенства:

. (9)

ТЕОРЕМА 1. Квадратичная форма от неизвестных, имеющая матрицу , после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных, причем матрицей этой формы служит произведение .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то по (6) имеем:

. (10)

Подставляя (9) и (10) в запись (7) формы , получаем:

,

или

,

где

.

Матрица будет симметрической, так как ввиду равенства (6), справедливого, очевидно, для любого числа множителей, и равенства , равносильного симметричности матрицы , имеем:

. □

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Ранг квадратичной формы не меняется при выполнении невырожденного линейного преобразования.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем вначале, что ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей. Действительно, каждая строка произведения двух матриц и является линейной комбинацией строк матрицы , а поэтому, ранг не выше ранга . Аналогично, столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы , значит, ранг не выше ранга .

Пусть теперь , где невырожденная матрица, тогда ранг не выше ранга . Аналогично, , следовательно, ранг не выше ранга . □

Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфа геометрической задачей, вопрос о приведении произвольной квадратичной формы некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду

. (11)

Этот специальный вид квадратичной формы называется каноническим.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Число отличных от нуля коэффициентов в (11) равно рангу формы .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть квадратичная форма от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду (11), где новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут, конечно, быть нулями. Матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

.

По предложению 3 эта матрица имеет ранг , что равносильно утверждению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов. □

ТЕОРЕМА 2. (основная о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид , являющийся каноническим. Будем вести доказательство индукцией по числу неизвестных, т. е. доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма

(12)

от неизвестных . Мы постараемся найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из квадрат одного из неизвестных, т. е. привело бы к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эта цель легко достигается в том случае, если средикоэффициентов , стоящих в матрице формы на главной диагонали, есть отличные от нуля, т. е. если в (12) входит с отличным от нуля коэффициентом квадрат хотя бы одного из неизвестных .

Пусть, например, . Тогда, как легко проверить, выражение , являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным , как и наша форма , а поэтому разность

будет квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные , но не . Отсюда

Если введем обозначения

, при (13)

то получим

, (14)

где будет теперь квадратичной формой от неизвестных . Выражение (14) есть искомое выражение для формы , так как оно получено из (12) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (13), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства , то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форме квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (12) этой формы должны быть отличные от нуля, иначе нечего было бы доказывать, то пусть, например, , т. е. является суммой слагаемого и слагаемых, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных .

Совершим теперь линейное преобразование

, , при . (15)

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель

.

В результате этого преобразования слагаемое нашей формы примет вид

,

т. е. в форме появятся, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных,причемони не могут сократиться ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входит хотя бы одно из неизвестных .

Теперь мы находимся в условиях уже рассмотренного выше случая,
т. е. еще одним невырожденным линейным преобразованием можем привести форму к виду (14).

Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичная форма зависит от меньшего, чем , числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматриваемое как (невырожденное, как легко видеть) преобразование всех неизвестных, при котором остается без изменения, приводит, следовательно, (14) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно, как мы знаем, рангу формы . Если, сверх того, квадратичная форма действительная, то коэффициенты как в каноническом виде формы , так в линейном преобразовании, приводящем к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (13), и линейное преобразование (15) имеют действительные коэффициенты. □

Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для действительного приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять изложенным выше методом квадраты неизвестных.

Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование

, ,

с матрицей

,

после чего получим:

.

Теперь коэффициент при отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая

, , ,

т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу

,

мы приведем к каноническому виду

.

Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение

.

Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как определитель равен ) линейное преобразование

превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.