Билет 38. Квадратичные формы

Определение квадратичной формы. Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы. В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Билет 39. Канонический вид квадратичной формы

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. Способы приведения: 1. Ортогональное преобразование пространства : где - собственные значения матрицы A.

2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если

Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем 3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от нуля):

Билет 40. Евклидова метрика — геометрическое расстояние между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемое по теореме Пифагора. Определение. Евклидова дистанция между точками p и q это длина отрезка . В Декартовых координатах, если p = (p ₁, p ₂,…, p_n) и q = (q ₁, q ₂,…, q_n) две точки в Евклидовом пространстве, длина отрезка p q равна:
Линия ( от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.Свойства прямой в евклидовой геометрии:1). Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.2). Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными. 3). В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, прямые параллельны; прямые скрещиваются. 4). Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

 

 

 

Билет 31. Базис. Размерность(тут муть!!!если попадется на мути что-нибудь…)

Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
• Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
• Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Базис пространства . Координаты вектора

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе () (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

Справедливы формулы:

Матрица системы векторов

Для векторов ..., в базисе () - матрица

m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rank A = m.

Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе

Если , то:

или кратко:

Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису .

Преобразование координат вектора

Если то В развернутой записи:

Очевидно, что

Пример.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решим ее методом Крамера:

Таким образом, .

Теперь построим X⁽²⁾. Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения x₂ = 0, x₄ = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений

.

Опять воспользуемся методом Крамера:

Получаем .

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и , теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:

, где C₁ и C₂ – произвольные числа.