Линии второго порядка на плоскости(окружность и эллипс-смотри 24 билет)

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат 0(нулю) (11.1) Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Виды это окружность и эллипс.

Окружность. Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

(11.2)это каноническим уравнением окружности

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат . Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при x² и у² равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат. Билет 24.1). Парабола- это геометрическое место точекна плоскости, одинаково удаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой(директрисы).Каноническое уравнение y²=2px, фокус F(P/2;0); директриса x=- P/2, r= MF(модуль)=x+P/2(модуль)

2). Эллипсом (круг на координатных осях) называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2(фокусов) есть величина постоянная. Каноническое уравнение x²/a²+y²/b²=1, уравнение касательной в точке M(x₀; y₀) y-y₀=b²*x₀/a²*y₀ * (x-x₀), фокусы эллипса F1(-c;0), F2(c;0) c=a²-b² (под корнем это!), эксцентрисетет e=c/a, директрисы x=d=a/e, x=-d=-a/e, r1/d1=r2/d2=e, оптическое свойство F1MA=F2MB, отношение полуосей b/a=1-e²(вот это выражение под корнем), расстояние от точки эллипса до фокусов(фокальные радиусы) r₁=MF1=a+ex; r₂=MF2=a-ex; r₁+r₂=2a, параметрическое уравнение x=accost, y=bsint (интервал от о до 2Пи принадледит t)

3). Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2. Каноническое уравнение x²/a²-y²/b²=1 и сопряжение с отрицательной еденичкой, уравнение касательной в точке M(x0, y0) y-y₀=b²* x₀/a²*y₀ * (x-x₀),асимптоты y= плюс минус b/a *x, эксцентрисетет e=c/a, директрисы x=d=a/e, x=-d=-a/e, r1/d1=r2/d2=e, оптическое свойство F1MA=AMF2, расстояние от точки геперболы до фокусов(фокальные радиусы) r₁=MF1(под модулем)=a+ex(модуль); r₂=MF2(модуль)=a-ex(модуль); r₁+r₂ (модуль)=2a.

25. Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Классификация кривых второго порядка: 1). Невырожденные кривые Кривая второго порядка называется невырожденной, если (треугольничек – это определитель) Могут возникать следующие варианты:1). Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 2). эллипс — при условии и ; 3). частный случай эллипса — окружность — при условии или 40. мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии 5). гипербола — при условии 5). Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если 6). парабола — при условии Вырожденные кривые Кривая второго порядка называется вырожденной, если . Могут возникать следующие варианты: 1). вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии 2). пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии 3). вырожденная парабола — при условии 4). пара вещественных параллельных прямых — при условии 5). одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии 6). пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии Виды кривых второго порядка: парабола, эллипс и гипербола(рассказать о них все!!билет24)

Билет 26. Цилиндрические поверхности.
Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению. Частный случай криволинейной поверхности.

Поверхности вращения и их канонические уравнения.

27. Поверхности второго порядка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a ₁₁ x ² +2 a ₁₂ xy + a ₂₂ y ² + 2 a ₁₀ x a ₃₃ z ² + 2 a ₂₀ y + a ₀₀ = 0 (*)

a ₁₁² + a ₁₂² + a ₂₂² =(не равно) 0

Существует 9 кривых второго порядка: 1). Существующая прямая пересекает кривую второго порядка не более чем в 2-х точках. 2). Три основных кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.

Виды:1) эллипсоиды(эллипсоиды, мнимые эллипсоиды);2) гиперболоиды: (однополостные гиперболоиды, двуполостные гиперболоиды); 3) параболоиды (эллиптические параболоиды, гиперболические параболоиды); 4) конусы второго порядка:(конусы, мнимые конусы); 5) цилиндры второго порядка(эллиптические цилиндры, мнимые эллиптические цилиндры, гиперболические цилиндры, параболические цилиндры).

 

Билет 28. Линейное, или векторное пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции:1).сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и.2). умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый . При этом на операции накладываются следующие условия:1). , для любых (коммутативность сложения);2). , для любых (ассоциативность сложения)3). существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;4). для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).5). (ассоциативность умножения на скаляр);6). (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).7). (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами.

Простейшие свойства 1). Векторное пространство является абелевой группой по сложению.2). Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.3). для любого . 4). Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.5). для любого . 6). для любых и .7). для любого .

Билет 29. Подпространство Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определенным в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы1). ; 2). для всякого вектора , вектор также принадлежал , при любом ;3). для всяких векторов , вектор также принадлежал . В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств 1). Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;2). Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :

.