Найти точки пересечения кривых второго порядка

1) , . 2) .

3) 4)

5) . 6) .

7) . 8) .

9) . 10) .

11) . 12) .

13) . 14) .

15) . 16) .

 

3 Определить вид кривой, заданной уравнением , построив её

а) ,

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

 

 

Лабораторная работа № 4

 

Тема: Построение поверхностей второго порядка.

Цель: Рассмотреть возможности построения поверхностей второго порядка в системе Mathcad

Порядок выполнения работы:

1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса аналитической геометрии, необходимые для выполнения работы.

2) Рассмотреть примеры построения поверхностей второго порядка в Mathcad в Приложении Г.

3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.

4) Написать отчет (в свободной форме).

 

Основные теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

 

Общее уравнение поверхности второго порядка. относительно некоторой прямоугольной системы координат имеет вид:

 

(4.4)

 

где .

 

Существует 17 поверхностей второго порядка в пространстве, описываемых в таблице 2

 

Таблица 2.

 

№	Каноническое уравнение	Название	Вид
		Эллипсоид
		Однополостный гиперболоид
		Двуполостный гиперболоид
		Эллиптический параболоид
		Гиперболический параболоид
		Эллиптический цилиндр
		Гиперболический цилиндр
		Параболический цилиндр
		Мнимый эллиптический цилиндр
		Пара действительных пересекающихся плоскостей
		Пара действительных параллельных плоскостей
		Пара мнимых параллельных плоскостей
		Конус II порядка
		Пара мнимых пересекающихся плоскостей
		Пара совпавших плоскостей
		Мнимый конус
		Мнимый эллипсоид

 

Задания для самостоятельного выполнения:

 

Построить следующие поверхности второго порядка

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

 

2 Построить поверхности второго порядка и определить их тип:

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) .

 

Построить линию пересечения поверхности с плоскостью

1) и ;

2) и ;

3) и ;

4) и ;

5) и ;

6) и (хоу);

7) и (уоz);

8) и (zox);

9) и x-y+z =1;

10) и 2 х-у+z =0;

11) и ;

12) и ;

13) и x+y+ 7 z -13=0;

14) и

;

15) и ;

16) и .

 

Найти линию пересечения поверхностей второго порядка

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

Приложение А

 

Выполнение матричных операций (сложение матриц, умножение матрицы на действительное число, умножение матриц, транспонирование матрицы, нахождение определителя квадратной матрицы, нахождение обратной матрицы, нахождение ранга матрицы) в среде Mathcad

 

Работа с матрицами в Mathcad.

Большинство операций с матрицами в Mathcad можно выполнить тремя способами – с по­мощью панелей инструментов, выбором операций в меню или обращением к соответст­вующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами Matrix находится в панели математических ин­струментов (рисунок 1):

 

 

Рисунок 1

Открыть эту панель можно щелчком по соответствующей кнопке . За каждой кнопкой панели закреплены функции. Рассмотрим лишь необходимые нам кнопки и их функции:

определение размеров матрицы;

ввод нижнего индекса;

нахождение обратной матрицы;

вычисление определителя матрицы;

выделение n-го столбца матрицы М (нумерация начинается с нуля).

 

 

Рисунок 2

 

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню символьных операций с матрицами (рисунок 2) содержит три функции – транспонирование, обращение матрицы и вычисление определи­теля матрицы. Чтобы произвести эти операции через меню нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке операции.

Функции, предназначенные для работы с матрицами, находятся в разделе Vector and Matrix в пункте «Функция» в меню «Вставка» (рисунок 3).

 

Рисунок 3

 

Рассмотрим ряд необходимых нам функций.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matri x (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности mxn, элемент которой, располо­женный в i -той строке, j -том столбце, равен значению f (i, j)

функции f (x,y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment(A,B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);

stak(A,B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в по­следних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов).

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;

rank(A) – вычисление ранга матрицы A.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (вы­полняет элементарные операции со строками матрицы).

lsolve(A,B) – решение системы линейных уравнений AX = B.

 

Задание 1. Задайте матрицу А размером 5х7 с использованием панели операций с матри­цами и векторами Matrix и матрицу В того же размера с помощью функции определения матриц. Найдите 12 А -16 В (рисунок 4).

 

 

Рисунок 4

 

Задание 2. Задайте матрицу С размера 4х3 любым из описанных выше способов. Найдите транспонированную ей матрицу с помощью панели операций с матрицами и векторами Matrix, а также с использованием меню символьных операций с матрицами. Решение задания приведено на рисунке 5.

Задание 3. Задайте матрицы P размера 6х8 и H размера 8х2. Найдите произведение матриц РН. Решение данного задания приведено на рисунке 6.

Задание 4. Задайте квадратную матрицу D четвертого порядка и матрицу-столбец F с че­тырьмя строками любым из описанных выше способов, а также единичную матрицу соот­ветствующей размерности с использованием функции определения матриц. Найдите про­изведения DF, DЕ и ЕD (рисунок 7).

Задание 5. Задайте квадратную матрицу G четвертого порядка. Найдите обратную матрицу для матрицы G. Сделайте проверку (рисунок 8).

 

Рисунок 5

 

Рисунок 6

 

 

Рисунок 7

 

 

Рисунок 8

 

Задание 6. Найти 15 AB -29 CE + D ³-18 FG^т +38 H ^-1, где , , , , , , , E – единичная матрица соответствующей размерности. Решение задания на рисунке 9.

Задание 7. Найдите определитель матрицы А четвертого порядка несколькими способами. Решение задания показано на рисунке 10.

Задание 8. Найдите ранг матрицы размера 12х7. Решение задания на рисунке 11.

 

 

Рисунок 9

 

 

 

Рисунок 10

 

 

Рисунок 11.

 

Приложение Б