А. Н. Благовисная, С. Т. Дусакаева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

«Оренбургский государственный университет»

 

Кафедра прикладной математики

 

А.Н. БЛАГОВИСНАЯ, С.Т. ДУСАКАЕВА

 

ПРИМЕНЕНИЕ МATHCAD ПРИ

РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

 

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

 

 

Оренбург 2005

ББК

 

УДК

 

 

Рецензенты

кандидат физико-математических наук, доцент Т.П. Петухова

кандидат физико-математических наук, доцент Т.М. Отрыванкина

 

А.Н. Благовисная, С.Т. Дусакаева

Применение Mathcad при решении задач линейной алгебры и аналитической геометрии: Методические указания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. – 56с.

 

 

Методические указания предназначены для студентов специальности 010501 – Прикладная математика и информатика.

 

© А.Н. Благовисная, 2005

© С.Т. Дусакаева, 2005

© ГОУ ОГУ, 2005

 

 

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………… Лабораторная работа № 1. Выполнение матричных операций в среде Mathcad………………………………………………………………………. Лабораторная работа № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений ……………………………………………………………………. Лабораторная работа № 3. Построение кривых второго порядка……… Лабораторная работа № 4.Построение поверхностей второго порядка Приложение А……………………………………………………………….. Приложение Б……………………………………………………………….. Приложение В……………………………………………………………….. Приложение Г……………………………………………………………….. Список использованных источников……………………………………….

 

 

Введение

 

Предметы «Геометрия» и «Алгебра» нуждаются в применении информационных технологий, так как решение большинства задач в алгебре предполагает выполнение колоссального объема рутинной работы, что иногда затрудняет восприятие основных идей данного предмета, а в аналитической геометрии точное и наглядное выполнение рисунков существенно облегчает решение задачи.

Для внедрения информационных технологий в образовательный процесс был выбран пакет Mathcad, который обладает дружественным по отношению к пользователю интерфейсом, а также математически и визуально ориентированным языком общения с пользователем, что поможет студентам первого курса достаточно легко овладеть основными навыками работы с данным пакетом.

В методических указаниях приведены четыре лабораторных работы по дисциплине. В каждой лабораторной работе создана специальная система заданий, позволяющая закрепить и обобщить знания, полученные при изучении в линейной алгебры и аналитической геометрии. Методические указания содержат приложения, в которых наглядно показаны решения простейших задач в Mathcad на рисунках, отображающих диалоговое окно системы, что позволит студентам быстрее сориентироваться при выполнении задач для самостоятельного решения.

Методические указания предназначены для студентов специальности 010501 – Прикладная математика и информатика и могут быть использованы при обучении студентов физико-математических, инженерных и экономических специальностей.

 

 

 

Лабораторная работа № 1

 

Тема: Выполнение матричных операций в среде Mathcad.

Цель: Рассмотреть возможности применения пакета Mathcad при решении теоретических и практических задач линейной алгебры, в которых используются матричные операции.

Порядок выполнения работы:

1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса линейной алгебры и необходимые для выполнения работы.

2) Рассмотреть примеры выполнения операций над матрицами в пакете Mathcad в Приложении А.

3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.

4) Написать отчет (в свободной форме).

 

Лабораторная работа № 2

Основные теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

Метод Крамера

Пусть дана невырожденная система линейных уравнений с неизвестными.

 

(2.1)

 

тогда данная система совместна и единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

 

 

где - определитель основной матрицы системы, - вспомогательные определители, получаемые из заменой - ого столбца столбцов сводных членов.

 

Метод Гаусса

 

Алгоритм этого метода состоит в следующем.

Предположим, что коэффициент системы (2.1) отличен от нуля.

 

(2.1)

 

Этого всегда можно добиться, переставляя в случае необходимости уравнения из системы или неизвестной в ней и меняя нумерацию неизвестных. Умножим первое уравнение на и вычтем из второго уравнения, затем на и вычтем из третьего уравнения и т.д. Наконец, умножим первое уравнение на и вычтем из последнего уравнения. В результате неизвестной будет исключена из всех уравнений, кроме первого, и система примет вид:

 

(2.2)

 

В системе (2.2) следует вычеркнуть уравнения вида , если такие появились. На этом первый шаг метода Гаусса заканчивается. Элемент называют ведущим элементом этого шага.

Следующие шаги прямого хода метода Гаусса осуществляются аналогично. Так, на втором шаге при последовательно умножаем второе уравнение на , …., и вычитаем его из 3-го, 4-го, …, - го уравнений. В результате неизвестной исключается из всех уравнений, кроме 1-го, 2-го. На третьем шаге неизвестное исключается из всех уравнений, кроме первых трех, и т.д.

Возможно, что на некотором шаге прямого хода метода Гаусса встретится уравнение вида

 

(2.3)

 

Тогда рассматриваемая система несовместна, и дальнейшие ее решение прекращается. Если же при выполнении прямого хода метода Гаусса не встретятся уравнения вида (2.3), то рассматриваемая система не более чем через шагов прямого хода преобразуется в эквивалентную систему вида

 

 

(2.4)

 

Для упрощения записи в системе (2.4) штрихи над коэффициентами опущены. В ней не более уравнений, т.е. , т.к. некоторые уравнения, возможны, были приведены к виду 0=0 и вычеркнуты.

При система (2.4) имеет треугольный вид:

 

 

(2.5)

 

и в ней легко совершить обратный ход метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения этой системы найдем значение неизвестного . Подставим его в предпоследнее уравнение, найдем значение . Продолжая так далее, однозначно определим все неизвестные . Следовательно, если система (2.1) при прямом ходе метода Гаусса сводится к системе треугольного вида, то такая система определенная, т.е. имеет единственное решение.

При система (2.4) имеет вид трапеции. В ней неизвестные принимают за базисные, а неизвестные - за свободные. Свободные неизвестные могут принимать любые фиксированные значения. Полагая где - произвольные постоянные, и проведя в системе обратный ход метода Гаусса получим формулы:

 

(2.6)

 

которые составляют общее решение системы (2.1). Из общего решения (2.6) при конкретных значениях будут получатся частные решения системы (2.1). Так как каждое свободное неизвестное может принимать бесчисленное множество значений, система (2.1) при , т.е. в случае когда она приводится к трапецеидальному виду, обладает бесчисленным множеством решений. Это справедливо для совместных систем, имеющих меньше уравнений чем неизвестных, и, в частности, для однородных, имеющих меньше уравнений, чем неизвестных.

На практике метод Гаусса обычно реализуют в матричной форме. Для этого выписывают расширенную матрицу системы, в которой для удобство отделяют вертикальной чертой столбец свободных членов, и преобразования проводят над этой матрицей, затем над полученной и т.д.

 

Матричный метод

 

Решение системы в матричной форме имеет вид:

 

где

 

 

 

Рассмотрим матрицы

 

- основная матрица системы (2.2)

 

- расширенная матрица системы (2.2)

 

Вопрос о совместности системы линейных уравнений (2.2) полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (2.2) тогда и только тогда совместна, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной системы.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

Пусть дана совместная система линейных уравнений (2.2) и пусть основная матрица А этой системы имеет ранг r. Выбираем в А r линейно независимых строк и оставляем в системе (2.2) лишь уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие r неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных любым из методов, приведенных в пункте 1, мы получим все решения системы (2.2).

Задания для самостоятельного выполнения.

 

В заданиях данной лабораторной работы N – номер варианта.

 

1. Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным методом:

2. Исследовать систему на совместность. Если система совместна, то определить, сколько решений она имеет и, в зависимости от этого, найти решение системы или построить общее решение, используя метод Крамера. Сделать проверку.

 

а)

б)

 

3. Исследовать систему на совместность. Если система совместна, то определить, сколько решений она имеет и, в зависимости от этого, найти решение системы методом Гаусса или построить общее решение, используя символьные вычисления системы Mathcad. Сделать проверку.

 

а) ,

 

б) ,

в) .

 

Лабораторная работа № 3

 

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2 а, большая, чем расстояние между фокусами 2 с.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2 а, причем 2 a <2 c, где 2 с – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид

где .

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояния текущей М (х,y) гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам

.

Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

 

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной оси Ох, имеет вид

.

Уравнение вида

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Фокальный радиус точки М (х,y), т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле

.

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением .

Задания для самостоятельного выполнения:

 

Построить кривые II порядка и определить их тип. Для эллипса найти координаты фокусов, эксцентриситет и фокальные радиусы. Для гиперболы найти координаты фокусов, эксцентриситет, фокальные радиусы и уравнения асимптоты. Для параболы найти координаты фокуса и фокальный радиус.

1 вариант

а) б) в)

г) д) е) 5 у ²=0

ж) у ² + 4 х = 0 з) х ² – 4 = 0 и) у ² + 4 = 0

 

к)

2 вариант

а) б) в)

 

г) д) 20 х ² = 5 у ² е) 150 х ² = 0

 

ж) х ² – 4 у = 0 з) у ² – 18 = 0 и) х ² + 10 = 0

 

к)

3 вариант

а) б) в) х ² + у ² + 1= 0

 

г) 5 х ² + 10 у ² = 0 д) х ² – у ² = 0 е) 10 у ² = 0

 

ж) у ² – 10 х =0 з) у ² –16 = 0 и) у² + 16 = 0

 

к)

4 вариант

а) 15 х ² +100 у ² = 12 б) в)

 

г) д) е) 20 х ² = 0

 

ж) з) у ² + 4 = 0 и) у ² – 16 = 0

к)

5 вариант

а) 20 х ² +120 у ² = 10 б) в)

 

г) д) е) 15 х ² = 0

 

ж) з) 2 х ² + 4 = 0 и) х ² – 8 = 0

к)

6 вариант

а) 15 х ² + у ² = 60 б) в)

 

г) д) е) 100 х ² = 0

 

ж) з) 12 у ² + 8 = 0 и) у ² – 12 = 0

к)

7 вариант

а) 20 х ² + 40 у ² = 100 б) в)

 

г) д) е) 64 х ² = 0

 

ж) з) 5 у ² + 10 = 0 и) 2 у ² – 5 = 0

к)

8 вариант

а) 15 х ² + 5 у ² = 60 б) в)

 

 

г) д) е) 115 х ² = 0

 

 

ж) з) х ² + 3 = 0 и) 5 х ² = 10

 

к)

9 вариант

а) х ² + 20 у ² = 100 б) в)

 

 

г) д) е) 22 у ² = 0

 

 

ж) з) 5 у ² +7 = 0 и) 5 у ² =12

 

к)

 

10 вариант

а) 5 у ² + 20 х ² = 60 б) в)

 

г) д) е) 156 у ² = 0

 

ж) з) 16 х ² + 3 = 0 и) у ² = 12

к)

11 вариант

а) 5 х ² + 6 у ² = 120 б) в)

 

г) д) е) 1112 х ² = 0

 

ж) з) 18 у ² + 6 = 0 и) 16 у ² = 8

к)

12 вариант

а) 15 х ² + 16 у ² = 80 б) в)

 

г) д) е) 21 у ² = 0

 

ж) з) 12 х ² + 8 = 0 и) 5 х ² = 10

к)

13 вариант

а) 8 х ² + 16 у ² = 20 б) в)

 

г) д) е) 51 х ² = 0

 

ж) з) 5 у ² + 6 = 0 и) 2 у ² = 6

к)

14 вариант

а) 18 х ² +40 у ² =36 б) в)

 

г) д) е) 62 х ² = 0

 

ж) з) 12 х ² + 8 = 0 и) 3 х ² = 8

к)

15 вариант

а) 15 х ² + 45 у ² = 100 б) в)

 

г) д) е) 22 у ² = 0

 

ж) з) 16 х ² + 144 = 0 и) у ² = 12

к)

16 вариант

а) 5 х ² + 40 у ² = 50 б) в)

 

г) д) е) 11 х ² = 0

 

ж) з) 15 х ² + 12 = 0 и) 16 у ² = 8

к) .

 

Лабораторная работа № 4

 

Приложение А

 

Выполнение матричных операций (сложение матриц, умножение матрицы на действительное число, умножение матриц, транспонирование матрицы, нахождение определителя квадратной матрицы, нахождение обратной матрицы, нахождение ранга матрицы) в среде Mathcad

 

Работа с матрицами в Mathcad.

Большинство операций с матрицами в Mathcad можно выполнить тремя способами – с по­мощью панелей инструментов, выбором операций в меню или обращением к соответст­вующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами Matrix находится в панели математических ин­струментов (рисунок 1):

 

 

Рисунок 1

Открыть эту панель можно щелчком по соответствующей кнопке . За каждой кнопкой панели закреплены функции. Рассмотрим лишь необходимые нам кнопки и их функции:

определение размеров матрицы;

ввод нижнего индекса;

нахождение обратной матрицы;

вычисление определителя матрицы;

выделение n-го столбца матрицы М (нумерация начинается с нуля).

 

 

Рисунок 2

 

Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню символьных операций с матрицами (рисунок 2) содержит три функции – транспонирование, обращение матрицы и вычисление определи­теля матрицы. Чтобы произвести эти операции через меню нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке операции.

Функции, предназначенные для работы с матрицами, находятся в разделе Vector and Matrix в пункте «Функция» в меню «Вставка» (рисунок 3).

 

Рисунок 3

 

Рассмотрим ряд необходимых нам функций.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matri x (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности mxn, элемент которой, располо­женный в i -той строке, j -том столбце, равен значению f (i, j)

функции f (x,y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment(A,B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);

stak(A,B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в по­следних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов).

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;

rank(A) – вычисление ранга матрицы A.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (вы­полняет элементарные операции со строками матрицы).

lsolve(A,B) – решение системы линейных уравнений AX = B.

 

Задание 1. Задайте матрицу А размером 5х7 с использованием панели операций с матри­цами и векторами Matrix и матрицу В того же размера с помощью функции определения матриц. Найдите 12 А -16 В (рисунок 4).

 

 

Рисунок 4

 

Задание 2. Задайте матрицу С размера 4х3 любым из описанных выше способов. Найдите транспонированную ей матрицу с помощью панели операций с матрицами и векторами Matrix, а также с использованием меню символьных операций с матрицами. Решение задания приведено на рисунке 5.

Задание 3. Задайте матрицы P размера 6х8 и H размера 8х2. Найдите произведение матриц РН. Решение данного задания приведено на рисунке 6.

Задание 4. Задайте квадратную матрицу D четвертого порядка и матрицу-столбец F с че­тырьмя строками любым из описанных выше способов, а также единичную матрицу соот­ветствующей размерности с использованием функции определения матриц. Найдите про­изведения DF, DЕ и ЕD (рисунок 7).

Задание 5. Задайте квадратную матрицу G четвертого порядка. Найдите обратную матрицу для матрицы G. Сделайте проверку (рисунок 8).

 

Рисунок 5

 

Рисунок 6

 

 

Рисунок 7

 

 

Рисунок 8

 

Задание 6. Найти 15 AB -29 CE + D ³-18 FG^т +38 H ^-1, где , , , , , , , E – единичная матрица соответствующей размерности. Решение задания на рисунке 9.

Задание 7. Найдите определитель матрицы А четвертого порядка несколькими способами. Решение задания показано на рисунке 10.

Задание 8. Найдите ранг матрицы размера 12х7. Решение задания на рисунке 11.

 

 

Рисунок 9

 

 

 

Рисунок 10

 

 

Рисунок 11.

 

Приложение Б

Метод Крамера.

 

Задание 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера . Решение задания на рисунке 12.

 

Возможности Mathcad позволяют использовать метод Крамера не только при на­хождении решения невырожденной системы, но и для нахождения общего решения сис­темы, имеющей бесконечно много решений. Для этого используется нахождение определителя как функции, зависящей от свободных переменных.

 

Задание 2. Решить систему методом Крамера. Решение задания на рисунке 13.

 

Метод Гаусса в системе Mathcad можно осуществить с помощью функции rref.

Задание 3. Найдите решение системы линейных уравнений

с помощью функции rref. Решение задания на рисунке 14.

 

 

Рисунок 12

 

 

Рисунок 13

 

 

Рисунок 14

 

Задание 4. Исследовать систему на совместность. Если система совместна, то найти ее общее решение. Решение задания на рисунке 15.

Возможен еще один способ решения системы линейных уравнений в Mathcad с помощью функции lsolve.

Задание 5. Решить систему линейных уравнений

с применением функции lsolve. Решение задания на рисунке 16.

 

 

Рисунок 15

 

 

Рисунок 16

 

Приложение В

Рисунок 20

 

Диалоговое окно форматирования имеет четыре вкладки:

Оси X-Y – задание параметров отображения осей;

Трассировки (Линии) – задание параметров отображения линий графика;

Метки – задание параметров отображения меток (надписей) у осей;

Умолчание – задание параметров по умолчанию.

Все параметры форматирования относятся к выделенному графику и могут при необходи­мости меняться.

 

 

Рисунок 21

Задание1. Построить график функции , выбрав шаблон любым из описанных способов. Задайте более подходящий масштаб. Измените стиль осей графика. Измените цвет линий графика. Задайте надписи у осей. Решение задания на рисунке 23.

Задание 2. Построить в одной системе координат графики трех функций. Решение задания на рисунке 24.

Задание 3. Построить кривую . Определить тип кривой. Решение задания на рисунке 25.

Задание 4. Построить кривые и , найти их точки пересечения. Решение задания на рисунках 26 и 27.

В пакете Mathcad также возможно построение кривых, заданных в полярных координатах и в параметрической форме. Примеры таких построений приведены на рисунках 28 и 29.

 

 

Рисунок 23

 

Рисунок 24

 

 

Рисунок 25

 

Рисунок 26

 

 

Рисунок 27

 

Рисунок 28

 

Рисунок 29

 

Приложение Г

Рисунок 30

 

 

Рисунок 31

 

Уравнение поверхности не всегда задается в явном виде. Для того чтобы построить поверхность заданную неявно необходимо сначала уравнение данной поверхности разрешить относительно какой-либо переменной, а затем строить поверхности по полученным уравнениям.

Задание 3. Построить поверхность, заданную уравнением (рисунок 32).

Задание 4. Построить поверхность, заданную уравнением (рисунок 33).

Возможности системы Mathcad позволяют строить пересекающиеся поверхности в одной системе координат.

Задание 5. Построить поверхности , (рисунок 34).

В пакете Mathcad также возможно построение поверхностей, заданных в параметрической форме. Примеры таких построений приведены на рисунках 36 и 37.

 

 

Рисунок 32

 

Рисунок 33

 

 

Рисунок 34

 

 

Рисунок 35

 

 

Рисунок 36

 

 

Рисунок 37

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

«Оренбургский государственный университет»

 

Кафедра прикладной математики

 

А.Н. БЛАГОВИСНАЯ, С.Т. ДУСАКАЕВА

 

ПРИМЕНЕНИЕ МATHCAD ПРИ