Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Цель: Изучить возможности применения пакета Mathcad при решении задач, в которых необходимо решать системы линейных уравнений.

Порядок выполнения работы:

1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса линейной алгебры и необходимые для выполнения работы.

2) Рассмотреть примеры решения систем в системе Mathcad в Приложении Б.

3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.

4) Написать отчет (в свободной форме).

Основные теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

I Решение невырожденных систем

Метод Крамера

Пусть дана невырожденная система линейных уравнений с неизвестными.

 

(2.1)

 

тогда данная система совместна и единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

 

 

где - определитель основной матрицы системы, - вспомогательные определители, получаемые из заменой - ого столбца столбцов сводных членов.

 

Метод Гаусса

 

Алгоритм этого метода состоит в следующем.

Предположим, что коэффициент системы (2.1) отличен от нуля.

 

(2.1)

 

Этого всегда можно добиться, переставляя в случае необходимости уравнения из системы или неизвестной в ней и меняя нумерацию неизвестных. Умножим первое уравнение на и вычтем из второго уравнения, затем на и вычтем из третьего уравнения и т.д. Наконец, умножим первое уравнение на и вычтем из последнего уравнения. В результате неизвестной будет исключена из всех уравнений, кроме первого, и система примет вид:

 

(2.2)

 

В системе (2.2) следует вычеркнуть уравнения вида , если такие появились. На этом первый шаг метода Гаусса заканчивается. Элемент называют ведущим элементом этого шага.

Следующие шаги прямого хода метода Гаусса осуществляются аналогично. Так, на втором шаге при последовательно умножаем второе уравнение на , …., и вычитаем его из 3-го, 4-го, …, - го уравнений. В результате неизвестной исключается из всех уравнений, кроме 1-го, 2-го. На третьем шаге неизвестное исключается из всех уравнений, кроме первых трех, и т.д.

Возможно, что на некотором шаге прямого хода метода Гаусса встретится уравнение вида

 

(2.3)

 

Тогда рассматриваемая система несовместна, и дальнейшие ее решение прекращается. Если же при выполнении прямого хода метода Гаусса не встретятся уравнения вида (2.3), то рассматриваемая система не более чем через шагов прямого хода преобразуется в эквивалентную систему вида

 

 

(2.4)

 

Для упрощения записи в системе (2.4) штрихи над коэффициентами опущены. В ней не более уравнений, т.е. , т.к. некоторые уравнения, возможны, были приведены к виду 0=0 и вычеркнуты.

При система (2.4) имеет треугольный вид:

 

 

(2.5)

 

и в ней легко совершить обратный ход метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения этой системы найдем значение неизвестного . Подставим его в предпоследнее уравнение, найдем значение . Продолжая так далее, однозначно определим все неизвестные . Следовательно, если система (2.1) при прямом ходе метода Гаусса сводится к системе треугольного вида, то такая система определенная, т.е. имеет единственное решение.

При система (2.4) имеет вид трапеции. В ней неизвестные принимают за базисные, а неизвестные - за свободные. Свободные неизвестные могут принимать любые фиксированные значения. Полагая где - произвольные постоянные, и проведя в системе обратный ход метода Гаусса получим формулы:

 

(2.6)

 

которые составляют общее решение системы (2.1). Из общего решения (2.6) при конкретных значениях будут получатся частные решения системы (2.1). Так как каждое свободное неизвестное может принимать бесчисленное множество значений, система (2.1) при , т.е. в случае когда она приводится к трапецеидальному виду, обладает бесчисленным множеством решений. Это справедливо для совместных систем, имеющих меньше уравнений чем неизвестных, и, в частности, для однородных, имеющих меньше уравнений, чем неизвестных.

На практике метод Гаусса обычно реализуют в матричной форме. Для этого выписывают расширенную матрицу системы, в которой для удобство отделяют вертикальной чертой столбец свободных членов, и преобразования проводят над этой матрицей, затем над полученной и т.д.

 

Матричный метод

 

Решение системы в матричной форме имеет вид:

 

где