Тема: Построение кривых второго порядка.

Цель: Рассмотреть возможности построения кривых второго порядка в системе Mathcad

Порядок выполнения работы:

1) Повторить некоторые теоретические сведения, известные из курса аналитической геометрии, необходимые для выполнения работы.

2) Рассмотреть примеры построения кривых второго порядка в Mathcad в Приложении В.

3) Выполнить задачи для самостоятельного решения по вариантам. Вариант соответствует порядковому номеру в журнале.

4) Написать отчет (в свободной форме).

 

Основные теоретические сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

 

Общее уравнение кривой второго порядка относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат имеет вид:

 

(3.1)

 

где

 

Существует 9 кривых второго порядка на плоскости.

Приведем канонические уравнения этих кривых ().

1) - уравнение эллипса

2) - уравнение гиперболы

3) - уравнение параболы

4) - мнимый эллипс

5) - пара действительных пересекающихся прямых

6) - пара мнимых пересекающихся прямых

7) - пара действительных параллельных прямых

8) - пара мнимых параллельных прямых

9) - пара действительных совпавших прямых.

Чтобы определить тип кривой второго порядка достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных из коэффициентов уравнения.

Пусть кривая II порядка задана уравнением (3.1). Введем следующие обозначения

Числа D и не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инвариантами.

В таблице 1 видно, какому сочетанию знаков определителей D и соответствует та или иная линия второго порядка.

 

Таблица 1

 

D		Название	Вид
+	-	эллипс
+	Мнимый эллипс
	Пара мнимых пересекающихся прямых
		Гипербола
	Пара действительных пересекающихся прямых
		Парабола
		Пара действительных параллельных прямых
Пара мнимых параллельных прямых
Пара действительных совпавших прямых

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2 а, большая, чем расстояние между фокусами 2 с.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где , если a>b и фокусы находятся на оси Ох. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние точки М (х, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам

.

 

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2 а, причем 2 a <2 c, где 2 с – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид

где .

Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояния текущей М (х,y) гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам

.

Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

 

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной оси Ох, имеет вид

.

Уравнение вида

описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Фокальный радиус точки М (х,y), т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле

.

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением .

Задания для самостоятельного выполнения:

 

Построить кривые II порядка и определить их тип. Для эллипса найти координаты фокусов, эксцентриситет и фокальные радиусы. Для гиперболы найти координаты фокусов, эксцентриситет, фокальные радиусы и уравнения асимптоты. Для параболы найти координаты фокуса и фокальный радиус.

1 вариант

а) б) в)

г) д) е) 5 у ²=0

ж) у ² + 4 х = 0 з) х ² – 4 = 0 и) у ² + 4 = 0

 

к)

2 вариант

а) б) в)

 

г) д) 20 х ² = 5 у ² е) 150 х ² = 0

 

ж) х ² – 4 у = 0 з) у ² – 18 = 0 и) х ² + 10 = 0

 

к)

3 вариант

а) б) в) х ² + у ² + 1= 0

 

г) 5 х ² + 10 у ² = 0 д) х ² – у ² = 0 е) 10 у ² = 0

 

ж) у ² – 10 х =0 з) у ² –16 = 0 и) у² + 16 = 0

 

к)

4 вариант

а) 15 х ² +100 у ² = 12 б) в)

 

г) д) е) 20 х ² = 0

 

ж) з) у ² + 4 = 0 и) у ² – 16 = 0

к)

5 вариант

а) 20 х ² +120 у ² = 10 б) в)

 

г) д) е) 15 х ² = 0

 

ж) з) 2 х ² + 4 = 0 и) х ² – 8 = 0

к)

6 вариант

а) 15 х ² + у ² = 60 б) в)

 

г) д) е) 100 х ² = 0

 

ж) з) 12 у ² + 8 = 0 и) у ² – 12 = 0

к)

7 вариант

а) 20 х ² + 40 у ² = 100 б) в)

 

г) д) е) 64 х ² = 0

 

ж) з) 5 у ² + 10 = 0 и) 2 у ² – 5 = 0

к)

8 вариант

а) 15 х ² + 5 у ² = 60 б) в)

 

 

г) д) е) 115 х ² = 0

 

 

ж) з) х ² + 3 = 0 и) 5 х ² = 10

 

к)

9 вариант

а) х ² + 20 у ² = 100 б) в)

 

 

г) д) е) 22 у ² = 0

 

 

ж) з) 5 у ² +7 = 0 и) 5 у ² =12

 

к)

 

10 вариант

а) 5 у ² + 20 х ² = 60 б) в)

 

г) д) е) 156 у ² = 0

 

ж) з) 16 х ² + 3 = 0 и) у ² = 12

к)

11 вариант

а) 5 х ² + 6 у ² = 120 б) в)

 

г) д) е) 1112 х ² = 0

 

ж) з) 18 у ² + 6 = 0 и) 16 у ² = 8

к)

12 вариант

а) 15 х ² + 16 у ² = 80 б) в)

 

г) д) е) 21 у ² = 0

 

ж) з) 12 х ² + 8 = 0 и) 5 х ² = 10

к)

13 вариант

а) 8 х ² + 16 у ² = 20 б) в)

 

г) д) е) 51 х ² = 0

 

ж) з) 5 у ² + 6 = 0 и) 2 у ² = 6

к)

14 вариант

а) 18 х ² +40 у ² =36 б) в)

 

г) д) е) 62 х ² = 0

 

ж) з) 12 х ² + 8 = 0 и) 3 х ² = 8

к)

15 вариант

а) 15 х ² + 45 у ² = 100 б) в)

 

г) д) е) 22 у ² = 0

 

ж) з) 16 х ² + 144 = 0 и) у ² = 12

к)

16 вариант

а) 5 х ² + 40 у ² = 50 б) в)

 

г) д) е) 11 х ² = 0

 

ж) з) 15 х ² + 12 = 0 и) 16 у ² = 8

к) .