Общая теория линий второго порядка

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

(1).

Пусть - линия второго порядка, заданная уравнением (1).

С каждым уравнением вида (1) связано число , которое называется определителем линии . Различают 3 типа линий второго порядка: если - линия эллиптического типа,

если - линия гиперболического типа,

если - линия параболического типа.

В свою очередь, каждый тип включает в себя несколько видов линий второго порядка (сопроводить примеры рисунками).

 

Линии эллиптического типа и их канонические уравнения:

Эллипс:

Мнимый эллипс:

Пара мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке:

Линии гиперболического типа и их канонические уравнения:

Гипербола с вещественной осью Ох:

Пара пересекающихся прямых:

Линии параболического типа и их канонические уравнения:

Парабола с осью Ох:

Пара параллельных прямых:

Пара мнимых параллельных прямых:

Пара совпавших прямых: 0.

РЕКОМЕНДАЦИИ: 1. Полезно заготовить таблицу на развороте тетради со следующими столбцами: 1) тип и ; 2) каноническое уравнение; 3) название; 4) каноническая картинка в ПДСК; 5) центры; 6) асимптотические направления (асимптоты); 7) диаметры, сопряженные диаметры; 8) главные направления и главные диаметры (можно разбить на два столбца).

Таблица заполняется по мере изучения материала рисунками и небольшими комментариями.

2) Хороший результат даёт следующий приём: задавать студентам на дом изготовление шпаргалок по каждой теме: название объекта (например, ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА), аналитическое задание изучаемого объекта, если надо – рисунок.

Я разрешаю подсматривать в свои шпаргалки даже на контрольной работе. Но, как правило, к контрольной работе они уже не нужны…

 

ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Точка С называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Это означает, что для каждой точки М, принадлежащей линии , симметричная ей относительно С точка также принадлежит линии .

Теорема. Пусть - линия второго порядка, заданная уравнением (1).
Точка С() – центр линии тогда и только тогда, когда её

координаты удовлетворяют системе

(2)

где

Если система (2) имеет единственное решение, то есть линия имеет единственный центр, линия называется центральной.

В остальных случаях (если система (2) не имеет решений (то есть линия не имеет центров), или имеет бесконечно много решений (то есть линия имеет бесконечное множество центров)), линия называется нецентральной.

Если каждое уравнение системы (2) рассматривать как уравнение прямой на плоскости, то становится очевидным (если забыли известные факты алгебры), что:

система (2) имеет единственное решение прямые пересекаются в одной точке) следовательно, центральными являются линии эллиптического и гиперболического типа;

система (2) не имеет решения прямые параллельны) ;

система (2) имеет бесконечно много решений прямые совпадают) .

Для двух последних случаев =0, следовательно, нецентральными являются линии параболического типа.

Точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии , если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Рассмотрите рисунки линий второго порядка и выясните, какие линии имеют особые точки.

 

ЗАДАЧИ.

1. Найдите центр для каждой из линий. Выясните вид каждой линии.

а) 3

Решение. Чтобы не делать «обидных» ошибок, подпишите под каждым коэффициентом в уравнении его обозначение: , , и т.д.

Следите за знаками и не забывайте про «двойки». В данной задаче

=1, = , =1, , , .

Обязательно вычисляйте определитель так как выяснение типа влечёт за собой, как мы узнаем, много информации:

– гиперболического типа существует единственный центр. Найдём центр, для этого составим систему вида (2):

Решая систему, находим единственное решение С(3, -2).

Чтобы определить вид линии, выясним, принадлежит ли центр С этой линии. Для этого подставим найденные координаты в уравнение линии .

Вычисляя, получаем, что координаты не удовлетворяют уравнению линии, то есть С не принадлежит ей. Значит, данная линия – гипербола.

 

 

б)

Решение. 1 - параболического типа либо не существует центра, либо существует бесконечно много центров.

Составим систему вида (2):

или
.

Очевидно, существует бесконечно много решений, все они описываются уравнением . Это означает, что существует прямая центров с уравнением .

Выясним вид линии. Для этого найдём один из центров, например С(0,0), и выясним, принадлежит ли он линии . Подставляем координаты точки С в это уравнение и определяем, что С не принадлежит линии . Значит, данная линия второго порядка представляет собой пару параллельных прямых. Мнимых или вещественных? Для ответа на этот вопрос попробуем найти вещественную точку, принадлежащую этой линии.

В данном случае это несложно сделать подбором: А . Итак, окончательно получаем, что данная линия – пара вещественных параллельных прямых.

Подумайте, как быть, если не удаётся подобрать вещественную точку, принадлежащую линии.

 

2. . При каких и :

а) - центральная линия;

б) имеет прямую центров;

в) не имеет центров.

Решение: а) - центральная линия 9.

б) имеет прямую центров 0 и

 

=9 и =9 и b=9.

в) не имеет центров 0 и =9 и b 9.

 

3. Как выглядит общее уравнение линии второго порядка, если ось Ох является прямой её центров?

Решение. Пусть .

Так как существует прямая центров, то =0.

Любая точка М(х, 0) является центром, поэтому

.

Точка О(0,0) – тоже центр, значит . Но тогда

.

Так как - линия второго порядка, то

Окончательно получаем уравнение линии .

 

4. Составьте уравнение линии второго порядка, проходящей через точки О(0, 0), А(0, 1), В(1, 0), если она симметрична относительно С(2, 3).

Решение. Пусть .

О

А +

В

С – центр 2 +

2 + 3 + .

Будем решать систему из пяти уравнений, в которой шесть неизвестных.

Пусть =0. Тогда из этих уравнений получаем, что и = =0.

Но тогда - не линия второго порядка. Значит, 0. Удобно (в данном случае) считать = 2. Решаем систему и находим уравнение

.

 

СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ.

 

Дана аффинная система координат .

Определение. Диаметром линии второго порядка, сопряженным вектору не асимптотического направления относительно , называется множество середин всех хорд линии , параллельных вектору .

На лекции доказано, что диаметр – это прямая и получено её уравнение

(7)

или (7`)

 

Рекомендации: Показать (на эллипсе), как строится (задаём не асимптотическое направление; проводим [две] прямые этого направления, пересекающие линию; находим середины отсекаемых хорд; проводим через середины прямую – это и есть диаметр).

Обсудить:

1. Почему в определении диаметра берётся вектор не асимптотического направления. Если не могут ответить, то попросите построить диаметр, например, для параболы.

2. Любая ли линия второго порядка имеет хотя бы один диаметр? Почему?

3. На лекции доказано, что диаметр – это прямая. Серединой какой хорды является точка М на рисунке?

 

М

 

4. Посмотрите на скобки в уравнении (7). Что они напоминают?

Вывод: 1) каждый центр принадлежит каждому диаметру;

2) если существует прямая центров, то существует единственный диаметр.

5. Какое направление имеют диаметры линии параболического типа? (Асимптотическое)

Доказательство (наверно, на лекции).

Пусть диаметр d, заданный уравнением (7`) сопряжен вектору не асимптотического направления. Тогда его направляющий вектор

(-(), ). Покажем, что этот вектор имеет асимптотическое направление. Воспользуемся критерием вектора асимптотического направления для линии параболического типа (см.(5)). Подставляем и убеждаемся (не забываем, что .

 

6. Сколько диаметров у параболы? Их взаимное расположение? Сколько диаметров у остальных линий параболического типа? Почему?

7. Как построить общий диаметр некоторых пар линий второго порядка (см. вопросы 30, 31 далее).

8. Заполняем таблицу, обязательно делаем рисунки.

 

ЗАДАЧИ.

1. . Напишите уравнение множества середин всех хорд, параллельных вектору

2. Напишите уравнение диаметра d, проходящего через точку К(1,-2) для линии .

Этапы решения:

1-й способ.

1. Определяем тип (чтобы знать, как ведут себя диаметры этой линии).

В данном случае линия центральная, тогда все диаметры проходят через центр С.

2. Составляем уравнение прямой, проходящей через две точки К и С. Это и есть искомый диаметр.

2-й способ.

1. Записываем уравнение диаметра d в виде (7`).

2. Подставив в это уравнение координаты точки К, находим зависимость между координатами вектора, сопряженного диаметру d.

3. Задаём этот вектор, учитывая найденную зависимость, и составляем уравнение диаметра d.

В данной задаче вычислять проще вторым способом.

 

3. . Напишите уравнение диаметра, параллельного оси абсцисс.

 

4. Найдите середину хорды, отсекаемой линией

на прямой x + 3y – 12 =0.

Указание к решению: Конечно, можно найти точки пересечения данных прямой и линии , а затем – середину полученного отрезка. Желание сделать так отпадает, если взять, к примеру, прямую с уравнением х +3у – 2009 =0.

Возьмём направляющий вектор данной прямой и запишем уравнение диаметра, сопряжённого этому вектору. Далее, найдём точку пересечения данной прямой и найденного диаметра.

СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ

 

Определение. Пусть - диаметр, сопряжённый вектору ; - направляющий вектор этого диаметра; - диаметр, сопряжённый вектору . Тогда диаметры и называются сопряжёнными диаметрами.

Показать, как изобразить!

Геометрический смысл: два диаметра сопряжены, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Обсудить: У каждой ли линии второго порядка есть сопряжённые диаметры? Почему?

Определение. Направления ненулевых векторов () и называются сопряжёнными направлениями относительно линии второго порядка, заданной уравнением (1), если

(8)

На лекции доказывается, что сопряжённые диаметры имеют сопряжённые направления.

ЗАДАЧИ.

5.(941) .

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии , если один из них проходит через точку М(-1,-2).

 

6.(940) .

Напишите уравнения двух сопряжённых диаметров линии , если один из них параллелен прямой x – 4y + 5 = 0.

Замечание. Прежде, чем приступать к вычислениям, сделайте иллюстрации к эти задачам!

Обсудить: Какому направлению сопряжено асимптотическое направление относительно а) центральной линии ; б) нецентральной линии ?

Ответ: а) самому себе; б) любому направлению. (Возможно, это доказано на лекции. Если нет, можно рассмотреть в качестве задачи.)

 

Домашнее задание.

[1] №№ 923, 924, 926, 938, 939, 945.

Шпаргалки: 1) диаметры; 2) сопряженные диаметры.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ОТЧЁТА (ЗАЧЁТА)

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

(1).

Пусть - линия второго порядка, заданная уравнением (1).

С каждым уравнением вида (1) связано число , которое называется определителем линии . Различают 3 типа линий второго порядка: если - линия эллиптического типа,

если - линия гиперболического типа,

если - линия параболического типа.

В свою очередь, каждый тип включает в себя несколько видов линий второго порядка (сопроводить примеры рисунками).

 

Линии эллиптического типа и их канонические уравнения:

Эллипс:

Мнимый эллипс:

Пара мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке:

Линии гиперболического типа и их канонические уравнения:

Гипербола с вещественной осью Ох:

Пара пересекающихся прямых:

Линии параболического типа и их канонические уравнения:

Парабола с осью Ох:

Пара параллельных прямых:

Пара мнимых параллельных прямых:

Пара совпавших прямых: 0.

РЕКОМЕНДАЦИИ: 1. Полезно заготовить таблицу на развороте тетради со следующими столбцами: 1) тип и ; 2) каноническое уравнение; 3) название; 4) каноническая картинка в ПДСК; 5) центры; 6) асимптотические направления (асимптоты); 7) диаметры, сопряженные диаметры; 8) главные направления и главные диаметры (можно разбить на два столбца).

Таблица заполняется по мере изучения материала рисунками и небольшими комментариями.

2) Хороший результат даёт следующий приём: задавать студентам на дом изготовление шпаргалок по каждой теме: название объекта (например, ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА), аналитическое задание изучаемого объекта, если надо – рисунок.

Я разрешаю подсматривать в свои шпаргалки даже на контрольной работе. Но, как правило, к контрольной работе они уже не нужны…

 

ЦЕНТР ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Точка С называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Это означает, что для каждой точки М, принадлежащей линии , симметричная ей относительно С точка также принадлежит линии .

Теорема. Пусть - линия второго порядка, заданная уравнением (1).
Точка С() – центр линии тогда и только тогда, когда её

координаты удовлетворяют системе

(2)

где

Если система (2) имеет единственное решение, то есть линия имеет единственный центр, линия называется центральной.

В остальных случаях (если система (2) не имеет решений (то есть линия не имеет центров), или имеет бесконечно много решений (то есть линия имеет бесконечное множество центров)), линия называется нецентральной.

Если каждое уравнение системы (2) рассматривать как уравнение прямой на плоскости, то становится очевидным (если забыли известные факты алгебры), что:

система (2) имеет единственное решение прямые пересекаются в одной точке) следовательно, центральными являются линии эллиптического и гиперболического типа;

система (2) не имеет решения прямые параллельны) ;

система (2) имеет бесконечно много решений прямые совпадают) .

Для двух последних случаев =0, следовательно, нецентральными являются линии параболического типа.

Точка, принадлежащая линии второго порядка, называется особой точкой линии , если она является центром этой линии. В противном случае точка называется обыкновенной.

Рассмотрите рисунки линий второго порядка и выясните, какие линии имеют особые точки.

 

ЗАДАЧИ.

1. Найдите центр для каждой из линий. Выясните вид каждой линии.

а) 3

Решение. Чтобы не делать «обидных» ошибок, подпишите под каждым коэффициентом в уравнении его обозначение: , , и т.д.

Следите за знаками и не забывайте про «двойки». В данной задаче

=1, = , =1, , , .

Обязательно вычисляйте определитель так как выяснение типа влечёт за собой, как мы узнаем, много информации:

– гиперболического типа существует единственный центр. Найдём центр, для этого составим систему вида (2):

Решая систему, находим единственное решение С(3, -2).

Чтобы определить вид линии, выясним, принадлежит ли центр С этой линии. Для этого подставим найденные координаты в уравнение линии .

Вычисляя, получаем, что координаты не удовлетворяют уравнению линии, то есть С не принадлежит ей. Значит, данная линия – гипербола.

 

 

б)

Решение. 1 - параболического типа либо не существует центра, либо существует бесконечно много центров.

Составим систему вида (2):

или
.

Очевидно, существует бесконечно много решений, все они описываются уравнением . Это означает, что существует прямая центров с уравнением .

Выясним вид линии. Для этого найдём один из центров, например С(0,0), и выясним, принадлежит ли он линии . Подставляем координаты точки С в это уравнение и определяем, что С не принадлежит линии . Значит, данная линия второго порядка представляет собой пару параллельных прямых. Мнимых или вещественных? Для ответа на этот вопрос попробуем найти вещественную точку, принадлежащую этой линии.

В данном случае это несложно сделать подбором: А . Итак, окончательно получаем, что данная линия – пара вещественных параллельных прямых.

Подумайте, как быть, если не удаётся подобрать вещественную точку, принадлежащую линии.

 

2. . При каких и :

а) - центральная линия;

б) имеет прямую центров;

в) не имеет центров.

Решение: а) - центральная линия 9.

б) имеет прямую центров 0 и

 

=9 и =9 и b=9.

в) не имеет центров 0 и =9 и b 9.

 

3. Как выглядит общее уравнение линии второго порядка, если ось Ох является прямой её центров?

Решение. Пусть .

Так как существует прямая центров, то =0.

Любая точка М(х, 0) является центром, поэтому

.

Точка О(0,0) – тоже центр, значит . Но тогда

.

Так как - линия второго порядка, то

Окончательно получаем уравнение линии .

 

4. Составьте уравнение линии второго порядка, проходящей через точки О(0, 0), А(0, 1), В(1, 0), если она симметрична относительно С(2, 3).

Решение. Пусть .

О

А +

В

С – центр 2 +

2 + 3 + .

Будем решать систему из пяти уравнений, в которой шесть неизвестных.

Пусть =0. Тогда из этих уравнений получаем, что и = =0.

Но тогда - не линия второго порядка. Значит, 0. Удобно (в данном случае) считать = 2. Решаем систему и находим уравнение

.