Плоские фигуры n-порядка заданные общим уравнением.

Опр. Уравнение вида (2.1) где , называется уравнением второго порядка от двух переменных и .

Определение. Фигуры плоскости, которые могут быть заданы уравнением вида (2.1) называют плоскими фигурами второго порядка.

Пусть – старая система координат, – новая система координат.

Пусть в (2.1) , тогда .

Подставим новые значения и в (2.1), имеем:

Откуда имеем, ,

Где

Условие имеет вид (2.2). При повороте системы координат на угол из (2.2) уравнение (2.1) примет вид

(коэффициент ).

 

59◦.Эллиспоид

Опр. Эллисоид назыв.фигура которая в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат может быть заданна ур-ние , где (a,b,c>0,ϵR).

Если а=b=c,то уравнение x ² +y ² +z ² =a ² определяет сферу радиуса а.

В силу того, что x,y,z входят в ур-ние в четной степени, то эллипсоид симметричен относительно начало координат, координатных плоскостей и координатных осей. Начало координат назыв. Центром эллипсоидом О(0,0,0) оси Ox,Oy,Oz назыв. Главной осью. Точки пересечения с главными осями наз. Вершинами эллипсоидом. А ₁ (-a,0,0); A ₂ (a,0,0); B ₁ (0,-b,0); B ₂ (0,b,0); C ₁ (0,0,-c); C ₂ (0,0,c).

|x|≤a, |y|≤b, |z|≤c. В связи с этим все точки эллипсоида находятся внутри параллепипеда.

x=a, x=-a; y=b, y=-b; z=c, z=-c;

Если b=c, то ур-ние (эллипсоид вращения, кот. получается вращением факальной плоскости)

 

Исследование формы эллипсоида методом сечений.

Пусть , где a>b>c>0.

Пусть каноническое ур-ние эллипсоида, исследуем данную фигуру сечением.

Сечение плоскостью Oxy:z=0 ;

Данная фигура эллипс, фокусы находятся на оси Ox.

π||Oxy, π: z=h 1-h ² /c ² >0 чем больше |h|,то a, b меньше z=c, h=c c ₁ (0,0,-c) c ₂ (0,0,c)

сечение плоскостью Oyz x=0, на оси Oy там фокусы

π||Oyz, π:x=h, ,

x=z,y=0; .

π||Oxy, y=h

61°. Однополостный и двуполостный гиперболоиды.

Опр. Однополостный гиперболоид наз. Фигура, которая специально выбранной системе координат заданным ур-нием где a,b,cϵR.

Опр. Двуполостный гиперболоид наз. Фигура которая в специально выбранной системе координат задается ур-нием где a,b,cϵR.

Гиперболоиды симметричны относительно начало координат, координатных плоскостей, осей координат. Центр гипербола оси Ox,Oy,Oz –главные оси. Точки пересечения гиперболоида с главными осями наз. Вершина

		Двуполостный гиперболоид
	Однополостный гиперболоид

 

 

 

Исследование формы гиперболоидов методом сечений.

Пусть , a>b. ( Однополостный гиперболоид рис.1 )

Oxy 2) π||Oxy

Oxz 4) π||Oxz

a) если |h|<b гиберболоида фокусы на оси Ox;

b) если |h|>b фокусы будут лежать || оси Оz.

c) |h|=b, y=b ур-ние пересекающихся прямых. , где ( Двуполостный гиперболоид рис.2)

1) Oxy 2) π||Oxy

А) h<c, нет точек пересечений

Б) |h|=c,

В) |h|>c,

3) Oxz,

гипербола фокусы кот. Находятся

на оси Oz.

4) π||Oxz

 

63°. Конус второго порядка.

Опр. Конусом 2 порядка наз. Поверхность кот. Специально выбранной прямоугольной системе координат задается ур-нением , a,b,c>0.

Конус симметричен относительно Ox,Oy,Oz,O(0,0). Начало координат называется центром. Начало координат принадлежат конусу наз. Вершина конуса.

 

64. Исследование формы конуса второго порядка методом сечений. , a>b

1) Oxy

2) π||Oxy,

3) Oxz

4) π||Oxz,

 

65°. Эллиптический и гиперболический параболоиды.

Опр. Эллиптическим параболоидом наз. Поверхность кот. В специально выбранной произвольной системе координат может быть заданна ур-нием , p,q>0

Опр. Гиперболическим параюолоидом наз. Поврехность кот. В специально выбранной системе координат заданна ур-нием , p,q>0.

Начало координат принадлежит парабалоидам О(0,0,0) и это точка наз. Вершина парабалоида.

Параболоиды симмитричны относительно плоскости Oxz,Oyz.

	Эллиптический парабалоид
		Гипербалический параболоид

 

 

66. Исследование формы параболоидов методом сечений. , p,q>0 эллиптический параболоид

1) Oxy 2) π||Oxy

A) h<0, то пересечений нет

Б) h>0,

3) Oxz 4) π||Oxz

5) Oyz

Гиперболический параболоид , p,q>0

Oxy 2) π||Oxy h>0,(F1,F2ϵ∆)∆||Ox

3)Oxz 4) π||Oxz

5) Oyz ,парабалоида ветви направлены в противоположную сторону.

 

 

Цилиндры второго порядка. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

Опр. Пусть π-некоторая плоскость, ϒ-некоторая линия этой плоскости через каждую точку линии ϒ проведем прямые перпендикулярно плоскости π. Образовавшейся поверхность наз. Цилиндрической.

Опр. Линия ϒ-явл. Фигурой 2 порядка, то цилиндрическая поверхность наз.цилиндром второго порядка.

Эллиптический цилиндр

 

 

Гиперболический цилиндр

 

Параболический цилиндр