Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

(4)

Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы (4) выражается формулами Крамера:

, (5)

где - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы Δ заменой первого, второго или третьего столбца соответственно столбцом свободных членов .

Систему (4) можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда ее решение имеет вид

, (6)

если определитель матрицы А отличен от нуля.

10°. Направленный отрезок. Эквивалентные направленные отрезки. Понятие вектора. Угол между векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.

Направленный отрезок - отрезок оси Δ,ограниченный точками Α,Β, если указана, какая из этих точек является точкой начала, а какая точкой конца.

Направленные отрезки и называются сонаправленными, (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины.

Множество всех направленных отрезков, эквивалентных какому-нибудь одному, называется вектором.

Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между изображающими их направленными отрезками с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю, противоположно направленными —.Угол между нулевым вектором и каким-либо другим не определён.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 

11°. Операции над векторами. Свойства операции над векторами.

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю

Сложение векторов в соответствии см. рисунком называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из следующего рисунка. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Свойства сложения векторов.

1^о. .

2^о. .

3^о. , т.к. .

4^о. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что .

Если , то через обозначим . Тогда .

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены, если ;

.

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Пишут: .

Свойства умножения вектора на число.

и .

и вектора .

и вектора .

вектора .

 

Вычитание векторов. , т.е.

 

 

12. Понятие линейной зависимости векторов. Линейно независимые векторы. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Говорят, что векторы , , , линейно зависимы, если существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация равна нулевому элементу линейного пространства .

Если же равенство возможно только при условии , то векторы , , , называют линейно независимыми.

Лемма. Векторы , , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.(a| | b ó a,b - ЛЗВ)

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => . Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение . Так как , , то значит , т.е. или , а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов

Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы a,b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.(a₁, a₂, a₃ – комплонарны ó a₁, a₂, a₃ - ЛЗВ)

 

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a,b,c компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор окажется перпендикулярным векторy a, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Достаточность. Пусть . Так как векторы ненулевые, то может быть:

1) , тогда , следовательно, векторы a,b,c можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) , но => . Это значит, что вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c.

 

13°. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Пусть дана π-плоскость, e₁,e₂ – ЛЗВ, тогда любой вектор а в плоскости π, можно представить в виде линейной комбинации:

a = xe₁ +ye₂,

причем данное представление единсивенное.

Пусть и - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и . Возможны два случая.

Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору . В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где - некоторое число, и, следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку и отложим от нее векторы , , (рис.11). Через точку P проведем прямую, параллельную прямой , и обозначим через A₁ точку пересечения этой прямой с прямой OA. По правилу треугольника _{1 1} . Но векторы ₁ и ₁ коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют числа и ? Такие, что ₁₌ ,A₁ . Следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Докажем теперь, что коэффициенты и разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеем место другое разложение х₁ у₁ . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем ₁) ₁). Это равенство можно выполнять только в том случае, когда коэффиценты ₁ и ₁ равны нулю. В самом деле, если предложить, например, что х-х₁ 0, то из полученного равенства найдем , а значит, векторы и коллинеарны. Но это противоречие условию теоремы. Следовательно, х-х₁=0 и у-у₁=0, откуда х=х₁ и у=у₁. Это и означает, что коэффиценты разложения вектора определяются единственным образом.