Линейная и векторная алгебра

 

Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические дополнения. Свойства определителя. Определитель n – го порядка.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы (исследование с помощью определителей). Метод Гаусса. Эквивалентные системы. Число решений системы (по методу Гаусса).

Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Обратная матрица. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Переход от векторных соотношений к координатным.

Деление отрезка в данном соотношении. Линейная зависимость векторов. Скалярное произведение векторов. Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение векторов.

 

Аналитическая геометрия

 

Прямая на плоскости. Задачи на прямую. Геометрический смысл системы уравнений и системы неравенств с двумя переменными.

Окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вывод канонических уравнений и исследование формы кривых. Директрисы кривых второго порядка.

Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Плоскость и прямая в пространстве трех измерений. Формы записи уравнений. Задачи на прямую и плоскость в пространстве. Геометрический смысл системы линейных уравнений с тремя переменными и ее решения.

Поверхности второго порядка в пространстве трех измерений.

 

Комплексные числа. Многочлены

 

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции с комплексными числами. Формула Эйлера.

Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Разложение многочлена. Условие тождественности двух многочленов.

 

Математический анализ

Теория пределов

 

Переменная величина. Функциональная зависимость. Способы задания функций. Классификация функций. Числовая последовательность. Предел последовательности.

Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е как предел последовательности. Теорема о представлении последовательности, имеющей предел. Основные свойства пределов.

Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

 

Производная и ее приложения

 

Производная функции. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Свойства некоторых функций (логарифмической, показательной). Формулы дифференцирования. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Правило Лопиталя – Бернулли.

Признаки постоянства возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия существования экстремума. Направления выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функций. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней. Методы хорд, касательных, комбинированный.

 

Интегралы

 

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Методы интегрирования. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных выражений с помощью подстановок.

Интегральная сумма. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы.

Приложения определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла.

 

Функции нескольких переменных

 

Функции нескольких переменных: определение и геометрический смысл, частное и полное приращение, непрерывность, частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Производная сложной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная неявной функции. Частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент. Свойства градиента.

Максимум и минимум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод наименьших квадратов.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Элементы теории поля

 

Двойной интеграл. Двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла путем сведения к двукратному.

Уравнения поверхностей в пространстве трех измерений. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных и криволинейных координатах.

Тройной интеграл в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла.

Криволинейные интегралы по длине дуги и координатам. Нахождение площади области и работы переменной силы. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Поверхностные интегралы по площади поверхности и координатам. Свойства и вычисление интегралов.

Гидромеханический смысл поверхностного интеграла второго рода. Формула Остроградского – Гаусса. Формула Стокса.

 

Дифференциальные уравнения

 

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие определения. Задачи Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения и решений. Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные и приводящиеся к ним уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные. Основные свойства частных решений. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Метод подбора частного решения. Линейные уравнения высших порядков.

Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение систем методом исключения неизвестных. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

 

Ряды

 

Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами.

Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующийся ряд. Абсолютная и условная сходимость.

Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложений. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Ряды Фурье (для функций с периодом 2p и 2 l). Разложение четных и нечетных функций, непериодических функций.

Ряды Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье.

 

Теория вероятности

Случайные события

 

Случайные события. Вероятность события. Различные определения вероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятности с основными формулами комбинаторики.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Повторение испытаний. Формулы Бернулли и Пуассона. Наивероятнейшее число наступления события в n – испытаниях. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Случайные величины

 

Случайные величины – дискретные и непрерывные. Закон распределения случайной величины. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Нормальное распределение.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Правило «трех сигм».

Элементы математической статистики. Выборочный метод. Оценка параметров по выборке. Доверительная вероятность. Доверительный интервал. Статистическая проверка гипотез. Математическая обработка результатов наблюдений.

 

Список рекомендуемой литературы

 

1. В. С. Шипачев. Высшая математика. М. 2001.

2. А. А. Гусак. Высшая математика. Т. 1, 2. Минск. 1983.

3. А. А. Гусак. Пособие к решению задач по высшей математике. Минск. 1973.

4. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа в 2-х частях. М. 1973.

5. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия.

6. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. М. 1962.

7. В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М. 1975.

8. Сборник задач по курсу высшей математике под ред. Г. И. Кручковича. М. 1973.

9. Руководство к решению задач по высшей математике в 2-х частях под ред. Е. И. Гурского. Минск. 1990.

10. П. Е. Данко, А. Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х частях. М. 1986.

11. М. Л. Краснов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. 1978.

12. В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977.

13. В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М. 1979.

14. М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М. 1975.

15. Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков. Высшая математика: методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов – заочников инженерно – технических специальностей высших учебных заведений/ Под ред. Ю. С. Арутюнова. М.: Высшая школа. 1981.

 

Примерное планирование лекционного материала

 

Специальность – химия

I семестр (3 ч в неделю, всего 54 ч.)

 

Линейная и векторная алгебра (18 ч)

 

1 – 2. Определители второго и третьего порядков. Минор. Алгебраические дополнения. Свойства определителя.

3 – 4. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы и его вычисление.

5 – 6. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Число решений системы (исследование с помощью определителей).

7 – 8. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Обратная матрица. Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).

9 –10. Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем линейных уравнений.

11 – 12. Прямоугольная система координат. Понятие вектора. Проекция вектора на ось и на оси координат. Направляющие косинусы вектора.

13 – 14. Линейные операции над векторами и их свойства. Теоремы о проекциях векторов. Разложение вектора по базису.

15 – 16. Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.

17 – 18. Ориентация тройки векторов. Векторное и смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.