Раздел I. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Матрицы и определители

Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Определители n-го порядка. Разложение определителя по строке (столбцу) (теорема Лапласа.). Свойства определителей.

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

Основные понятия и определения. Обратная матрица. Системы n линейных уравнений с n переменными. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.

Тема 3. Основные задачи аналитической геометрии

Различные виды уравнений прямой. Нахождение расстояния от точки до прямой. Основные типы кривых и их канонические уравнения. Построение кривых по каноническим уравнениям. Построение линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически. Плоскость. Основные уравнения плоскости. Нахождение расстояния от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве. Совместное расположение прямой и плоскости в пространстве. Поверхности второго порядка. Типы поверхностей и их канонические уравнения. Построение поверхностей.

Раздел 2. Основы математического анализа

Тема 4. Пределы и непрерывность

Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация.

Тема 5. Дифференциальное исчисление

Понятие производной, ее геометрический, механический и экономический смысл. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Приложение дифференциального исчисления. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и интервале. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения их графиков.

Тема 6. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Существование неопределенного интеграла. Интегрирование элементарных функций. Методы интегрирования: непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование некоторых классов функции: рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральной суммы, его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Методы интегрирования заменой переменной и по частям в определенном интеграле. Приложения интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Использование определенного интеграла в экономике.

Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 7. Элементы комбинаторики

Основные теоремы комбинаторики. Основные правила комбинаторики. Комбинации объектов. Размещения. Сочетания. Перестановки.

Тема 8. Основы теории вероятностей

Испытания, события, виды событий, система элементарных событий. Классическое и статистическое определения вероятности. Теоремы сложений вероятностей несовместимых и совместимых событий. Теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий. Противоположенные события. Вероятность появления только одного и хотя бы одного из независимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Понятие случайных величин, их виды. Закон распределения дискретной случайной величины. Основные характеристики дискретной случайной величины и их смысл: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства математического ожидания и дисперсии. Наиболее распространенные законы распределения вероятностей.

Тема 9. Элементы математической статистики

Задачи математической статистики. Способы отбора статистических данных. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Средние величины. Основные свойства средней арифметической. Показатели вариации. Основные свойства дисперсии. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. Выборочный метод. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

IV.Литература

Основная литература

Рау В.Г. Практический курс математики и статистики. – М.: Высшая школа, 2006.

Дополнительная литература

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.— М.: Наука, 1984.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисле-ние.— М.: Наука, 1988.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник.— М.: Нау-ка,1982.

Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах.— М.: Наука, Физмат-лит,2000.

ВентцельА.Д. Курс теории случайных процессов.— М.: Наука, 1993.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате-матической статистике.— М.: Высшая школа, 1998.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнени-ях и задачах. — М.: Высшая школа, 2001.

Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. – М.: Проспект, 2004.

Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая ста-тистика.— М.: Высшая школа, 1982.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2.-Альфа, 1998.

Минорский В.П. «Сборник задач по высшей математике». М., Наука, 1987г.

Сборник задач по математике для втузов. /Под ред. А.В. Ефимова.- М.: Нау-ка.-Ч.1-2, 1993-1994.

Турецкий В.Я. Математика и информатика. – 3-е изд. – М.: ИНФРА-М, 2005.

Шипачев В.С. «Задачи по высшей математике». М.: Высшая школа, 1997.

Интернет-ресурсы

http://spcpa.ru/learning/zao/v8.html

http://sbiryukova.narod.ru/Met_pos_04-05/Ogl_tem.htm#H

http://www.refcity.ru/info/49.html

http://alexlarin.narod.ru/kvm.html

http://pmi.ulstu.ru/a/matan/lek11.html

http://www.ispu.ru/library/math/sem1/kiselev1/node33.html

http://do.rksi.ru/library/courses/ms/book.dbk

V.Перечень вопросов и типовых заданий для промежуточной аттестации

Вопросы

1. Основные сведения о матрицах. Виды матриц и действия над ними.

2. Определители матриц и способы их вычисления.

3. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений. Представление системы линейных уравнений в матричном виде.

5. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной мат-рицы.

6. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

7. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

8. Предел числовой последовательности и предел функции. Свойства предела функции.

9. Односторонние пределы. Замечательные пределы.

10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

11. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функции непрерывной на отрезке.

12. Точки разрыва и их классификация.

13. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

14. Основные правила дифференцирования функций.

15. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.

16. Производные высших порядков.

17. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

18. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.

20. Основные свойства неопределенного интеграла.

21. Основные методы интегрирования: метод замены переменной в неопределенном интеграле.

22. Основные методы интегрирования: метод интегрирования неопределенного ин-теграла по частям.

23. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

24. Теорема Ньютона-Лейбница.

25. Замена переменной и вычисление по частям в определенном интеграле.

26. Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей.

27. Теорема умножения вероятностей.

28. Понятие гипотезы. Формула полной вероятности.

29. Априорная и апостериорная вероятность. Формула Байеса.

30. Случайная величина. Функция распределения случайных величин.

31. Дискретные случайные величины. Свойства функции распределения дискретных случайных величин. Ряд и многоугольник распределения.

32. Понятие закона распределения дискретной случайной величины. Опыт Бернулли.

33. Непрерывная случайная величина и ее плотность распределения.

34. Равномерное распределение. Нормальное распределение.

35. Понятие математического ожидания. Формулы для математических ожиданий дискретных случайных величин и непрерывных случайных величин.

36. Дисперсия. Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения. Форму-лы для дисперсии дискретных случайных величин и непрерывных случайных ве-личин.

37. Понятие моментов. Мода и медиана случайной величины.

38. Функция распределения и плотность распределения двумерной случайной вели-чины и ее свойства.

39. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова.

Типовые задания

Элементы высшей алгебры

Пример 1. Для заданной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение;

3) решить систему методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных).

( Для решения Вы можете использовать программу MS Excel. Рекомендации по ее применению находятся в конце пособия);

Решение:

1) Метод Крамера.

Решение системы находим по формулам Крамера: где - (дополнительные) определители третьего порядка, получаемые из главного определителя системы заменой 1 -, 2 – или 3 – столбца соответственно на столбец свободных членов .

Вычисляем определители системы:

· главный определитель системы :

Система совместна, так как главный определитель системы не равен нулю.

· дополнительные определители системы:

Подставляя значения определителей в формулы Крамера, получаем:

Проверка:

2) Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных).

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

.

Заданная система уравнений приведена к виду:

.

Найдем корни системы уравнений:

3) Решение системы средствами матричного исчисления.

Запишем заданную систему уравнений в матричном виде

,

где , , .

Тогда ее решение имеет вид если определитель системы отличен от нуля.

Определитель системы D равен:

Таким образом обратная матрица существует и система имеет единственное решение.

Составим обратную матрицу , для чего вычислим алгебраические дополнения элемента и запишем матрицу в виде:

,

где

Обратная матрица системы имеет вид:

Проверим правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение, т. е. покажем, что , где Е - единичная матрица.

Вычислим

Найдем решение системы:

Ответ: или

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров