Линейные пространства и линейные операторы

Линейные пространства

Множество L называется линейным пространством, если для его элементов определены операции сложения и умножения на число, обладающие следующими свойствами:

1) для любых x и y, принадлежащих L, ;

2) для любых x, y и z, принадлежащих L, ;

3) существует элемент, обозначаемый через , такой, что для любого x из L;

4) для каждого x из L существует противоположный элемент, обозначаемый через , такой, что ;

5) для каждого x из L умножение на единицу даёт тот же x, то есть ;

6) для любых чисел α, β и любого x, принадлежащего L, ;

7) для любых чисел α, β и любого x, принадлежащего L, ;

8) для любого числа α и любых x и y, принадлежащих L, .

Ещё два свойства, и , можно вывести. Покажем это. Из 5) и 7) следует, что . Тогда , откуда , то есть . Первое из двух свойств доказано.

Для доказательства второго представим как = . Затем, прибавив – x к обеим частям равенства = , получим, что , откуда и, следовательно, .

Примером линейного пространства может служить множество матриц одинаковой размерности, в том числе множество n -мерных алгебраических векторов.

Пусть – элементы линейного пространства L. Выражение , где – какие-то числа, называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Элементы называются линейно независимыми, если из равенства следует, что .

Если же можно указать такие, одновременно не равные нулю, коэффициенты , что соответствующая линейная комбинация обращается в , элементы называются линейно зависимыми.

Пусть в линейном пространстве L имеются n линейно независимых элементов , обладающих тем свойством, что любой элемент x из этого пространства является их линейной комбинацией с коэффициентами .

В этом случае совокупность элементов называется базисом пространства L, а коэффициенты – координатами элемента x относительно этого базиса, число n – размерностью пространства, а само пространство L – n - мерным линейным пространством.

Представление элемента линейного пространства в виде линейной комбинации базисных элементов называется разложением этого элемента по базису.

Координаты элемента x относительно данного базиса определяются однозначно. Действительно, пусть имеется два разложения элемента x по базису, и . Вычтем из первого равенства второе. Получим . Так как линейно независимы, , следовательно, , то есть коэффициенты этих разложений совпадают.

Таким образом, если в n -мерном линейном пространстве L выбран базис, каждому элементу x этого пространства сопоставляется алгебраический вектор X – набор его координат, то есть . А поскольку при сложении элементов их координаты, очевидно, складываются, а при умножении на число – умножаются на число, элемент x можно отождествить с вектором X. Поэтому линейное пространство часто называют линейным векторным пространством, а его элементы – векторами.

Рассмотрим условие линейной независимости k элементов n -мерного линейного пространства L. Пусть элементы из L линейно независимы. Обозначим координаты элемента в базисе через (i =1,2,…, k). Предположим, что какая-то линейная комбинация элементов обращается в ноль, . Поскольку линейно независимы, коэффициенты должны обращаться в 0. Это значит, что система линейных уравнений относительно неизвестных , коэффициентами при которых служат координаты векторов , имеет единственное нулевое решение. Выпишем эту систему.

как известно, для того чтобы однородная система линейных уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен числу неизвестных. Таким образом, для того чтобы k элементов n -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточ-но, чтобы ранг матрицы, составленной из координат этих векторов, был равен k. Отсюда немедленно следует, что , то есть максимальное число линейно независимых равно n.

Т е о р е м а. Любая совокупность n линейно независимых элементов n -мерного линейного пространства L является базисом.

Доказательство. Пусть элементы линейно независимы. Разложим каждый из них по базису . Пусть – координаты элемента в этом базисе (i =1, 2, …, n). Покажем, что произвольный элемент x из L, имеющий в базисе координаты , может быть представлен в виде линейной комбинации элементов . Иначе говоря, что . Чтобы найти числа , нужно решить систему линейных уравнений, которая получается, если последнее равенство записать в координатной форме.

.

Главный определитель этой системы отличен от нуля, так как матрица коэффициентов составлена из координат линейно независимых элементов и имеет ранг, равный их количеству. Следовательно, система имеет решение (притом единственное).

Если матрицы и обозначить через P и , соответственно, торассмотренную систему можно записать в матричной форме следующим образом: . Приходим к выводу, что если в одном базисе и – в другом, то , где P – матрица, элементами столбцов которой являются координаты новых базисных элементов в старом базисе.

Равенство называют формулой перехода от одного базиса к другому.

Линейные операторы

Пусть каждому элементу x из некоторого линейного пространства L поставлен вполне определённый элемент y = A (x) из линейного пространства M, причём A (x ₁+ x ₂) = A (x ₁) + A (x ₂) и A (λ x)= λ A (x), где λ – число. Тогда говорят, что на линейном пространстве L задан линейный оператор A со значениями в M.

Если L и M конечномерны, n и m – их размерности, а и – их базисы, то действие оператора A сводится к умножению слева координатного представления элемента x на матрицу, столбцами которой являются координатные представления образов базисных векторов. Покажем это.

Пусть A (e _i)= , а Тогда

+ …+ x_n () = +…+ .

Таким образом, y = A (x) представляется в базисе вектором , то есть Y = AX, где A = ,

так что действие оператора A действительно сводится к умножению слева столбца X на матрицу A.

Если линейный оператор действует из L в L, то матрица A будет квадратной. В дальнейшем, учитывая, что , будем отождествлять элемент x пространства с алгебраическим вектором X, а действие оператора A на x – с умножением вектора X на матрицу A.

Собственными векторами и собственными числами линейного оператора, действующего из L в L, называются собственные векторы и собственные числа соответствующей матрицы.

примером линейного оператора может служить перестановка двух координат вектора X, x_i и x_j. Матрицей такого оператора является матрица, получающаяся из единичной перестановкой i -го и j -го столбцов.

Скажем, чтобы поменять местами четвёртый и первый элементы вектора (–4, 0, –6, 7, 3)^Τ (числа 7 и – 4), достаточно умножить его слева на матрицу , действительно, .

Квадратичные формы