Матрицы. Линейные операции над матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, заключённая в круглые скобки. Если матрица А содержит m строк и n столбцов, говорят, что матрица имеет размерность (или размер) . Элементы матрицы А, обозначаются обычно одноимённой маленькой буквой, снабжённой двумя индексами (номерами) по следующему правилу: элемент, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j, обозначается через

Если строки матрицы заменить столбцами (или, что приведёт к тому же результату, столбцы заменить строками), получится матрица, называемая транспонированной, а сама операция замены строк столбцами (столбцов строками) называется транспонированием и обозначается значком Τ. Если исходная матрица А имеет размерность , то транспонированная матрица А ^Τ имеет размерность .

Если , то _, и .

К примеру, если , то .

Очевидно, что повторное транспонирование даёт исходную матрицу, то есть (А ^Τ)^Τ= А.

Матрица размерности имеет вид и называется матрицей-строкой (элементы матрицы-строки иногда отделяют друг от друга запятой, возможна запись ). матрицей-столбцом называется матрица вида , её размерность .

При транспонировании матрицы-столбца получается матрица-строка и наоборот. в целях экономии места матрицу-столбец часто представляют как транспонированную матрицу-строку .

Упорядоченный набор n чисел называется n- мерным алгебраическим вектором. Эти числа (компоненты вектора) можно расположить в строчку или в столбик. В первом случае получим матрицу-строку , во втором – матрицу-столбец . В связи с этим матрицы-столбцы и матрицы-строки мы будем также называть векторами, опуская, как правило, слово алгебраическими.

Алгебраический вектор называется ненулевым, если хотя бы одна из его компонент отлична от нуля. Нулевой вектор состоит только из нулей.

Если число строк матрицы совпадает с числом её столбцов, матрица называется квадратной. Матрица А размерности называется квадратной матрицей n - го порядка.

Элемент квадратной матрицы называется диагональным, если номер его строки совпадает с номером его столбца. Совокупность диагональных элементов называются главной диагональю квадратной матрицы.

Квадратная матрица называется треугольно й, если все её диагональные элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Квадратная матрица А называется симметричной, если её элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны, то есть если a_{i j} = a _{j i}.

Симметричная матрица не изменяется при транспонировании, А ^Τ =А.

Приведём примеры треугольной и симметричной матриц. Матрица

треугольная, матрица симметричная.

Матрицы одной размерности можно складывать. Матрицы складываются поэлементно. Умножение матрицы на число определяется как умножение на это число всех её элементов. Поясним правила сложения матриц и умножения матрицы на число примером.

.

Сложение и умножение на число называются линейными операциями.

Умножение матриц

Операция умножения определяется не для всяких двух матриц. две матрицы можно перемножить только в том случае, если число столбцов одной матрицы совпадает с числом строк другой.

О п р е д е л е н и е. Пусть m ´ k – размерность матрицы А, а k ´ n – размерность матрицы В. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С (С = АВ) размерности m ´ n, элементы c_{i j} которой вычисляются по формуле

,

где – элементы i- й строки матрицы А, а – элементы j -го столбца матрицы В.

Сформулируем правило умножения матриц словесно.

Чтобы вычислить элемент произведения двух матриц, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, нужно элементы i- й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j- го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Условная схема умножения матриц такова: (® ¯). Первая стрелка показывает направление перемещения по строкам первой матрицы, вторая – по столбцам второй.

Отметим, что произведение матриц содержит столько же строк, сколько первая матрица, и столько же столбцов, сколько вторая. В частности, при умножении матрицы-строки на какую-нибудь другую матрицу получается матрица-строка. Если же какая-то матрица умножается на матрицу-столбец, получается матрица-столбец. При умножении матрицы-строки на матрицу-столбец получается матрица размерности 1×1, то есть число.

При умножении квадратных матриц одной размерности получается квадратная матрица той же размерности.

Приведём пример умножения матрицы размерности 4×3 на матрицу размерности 3×2, размерность произведения при этом будет 4×2.

В обратном порядке перемножить эти матрицы нельзя, так как умножение матрицы размерности 3×2 на матрицу размерности 4×3 не определено.

Покажем, что от перемены мест сомножителей, даже если умножение в обратном порядке возможно, результат может измениться.

Если , , то .

Но . Как видно, , то есть умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Транспонирование произведения двух матриц можно заменить умножением транспонированных сомножителей в обратном порядке, то есть имеет место равенство (AB)^Τ = B ^Τ A ^Τ. Это равенство пригодится нам при изучении квадратичных форм.

Его справедливость легко обосновать. Элемент матрицы B ^Τ A ^Τ, стоящий на пересечении i- й строки и j -го столбца, получается как сумма произведений элементов i- й строки матрицы B ^Τ, то есть i- го столбца матрицы B, на соответствующие элементы j -го столбца матрицы A ^Τ, то есть j -й строки матрицы A. Именно таким образом вычисляется элемент матрицы AB, стоящий на пересечении j -й строки и i- го столбца и совпадающий с элементом матрицы (AB)^Τ, стоящим на пересечении i- й строки и j -го столбца.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули, называется единичной и обозначается через E (или через E_n, если необходимо указать её порядок).

Единичные матрицы обладают замечательным свойством: умножение матрицы (слева или справа) на единичную матрицу подходящей размерности не изменяет исходную матрицу. Иными словами, если матрица А имеет размерность , то .

Например, , .

Матрица, обозначаемая через A ^–1, называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если верны равенства: AA ^–1= E и A ^–1 A = E.

Условие, при котором квадратная матрица имеет обратную, содержит понятие определителя квадратной матрицы.