Миноры и алгебраические дополнения

Матрицы, определители

Вопросы:

1.1.1. Определение матриц, виды матриц;

1.1.2. Операции над матрицами;

1.1.3. Определители;

1.1.4. Свойства определителей;

1.1.5. Миноры и алгебраические дополнения;

1.1.6. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы;

1.1.7. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

Матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

называется прямоугольной матрицей размера , где m - количество строк, а n - количество столбцов.

Определение 2. Числа, которые образуют матрицу, - a _ij, где , , называются элементами матрицы.

Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента a _ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц.

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица размера называется матрицей-столбцом.

.

Матрица размера называется матрицей-строкой.

.

Определение 1. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение 2. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

Определение 3. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е.

Определение 4. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.

 

Примеры. , .

Операции над матрицами

Определение 1. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается А ^Т.

, , .

Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.

Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.

Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число..

Определение 4. Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.

Приведем свойства операций над матрицами.

1. А · В В · А - произведение матриц не комму-тативно.

2. А+В = В+А - сложение матриц коммутативно.

3. (А + В) +С = А + (В + С) - ассоциативность.

4. А · Е=Е · А=А.

5. .

6. .

7. .

Определители

Пусть дана квадратная матрица порядка n:

А = .

Определение 1. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".

.

Пример 1. Определитель второго порядка. n =2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.

.

Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:

слагаемое со знаком "-", слагаемое со знаком "+".

Пример 2. Определитель третьего порядка. n =3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых,

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:

слагаемые со знаком "+", слагаемые со знаком "-".

Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определите

Свойства определителей

Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.

Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д.

Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Ранг матрицы

Пусть дана произвольная матрица размером . Возьмем произвольные k строк и k столбцов, . Минором порядка k называют определитель порядка k, составленный из элементов, расположенных на пересечении выбранных k строк и k столбцов, и обозначают M _k.

Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначается r(A).

Очевидно, что .

Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).

Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.

Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица

А = .

Предположим, что а ₁₁ отличен от нуля (если а ₁₁=0, то, переставив строки, этого можно добиться). Разделим первую строку на а ₁₁, после чего на первом месте в первой строке будет стоять 1. Умножая последовательно первую строку на а ₂₁, а _31, …, а _m1 и вычитая, соответственно, из второй, третьей, …, n -й, образуем в первом столбце все нулевые элементы.

А ~ .

Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а’ ₂₂. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а’ ₂₂=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а’ ₂₂. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а’ ₂₂ не окажется ненулевой элемент. После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу. А=

Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице

А ~ .

Буквой " а " условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения. Очевидно, что r(A)=m 1, так как минор, расположенный в первых m 1 строках и первых m 1 столбцах, равен единице

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте понятие матрицы.

2. Перечислите линейные операции над матрицами.

3. Что представляет собой операция «транспонирование матрицы»?

4. Дайте понятие «ранг матрицы»

5. Что такое «определитель матрицы»?

6. Перечислите основные свойства определителя.

7. Что такое обратная матрица?

 

Системы линейных уравнений

Определение 1. Система вида

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x ₁, x ₂, …, x _n - неизвестные, a _ij, i= , j= - коэффициенты при неизвестных, b ₁, b ₂, …, b _m - свободные члены.

Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.

Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.

При изучении систем исследуют три вопроса:

1) совместна система или нет;

2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;

3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

 

Решение СЛУ методом Гаусса.

Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:

1) умножение уравнения на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

3) перестановка двух уравнений;

4) отбрасывание уравнения 0=0.

Если получено уравнение 0= k, то система несовместна.

Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.

Пример.

.

Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:

Получено решение системы х (3;2;1).

Вопросы для самопроверки.

1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?

2. Перечислите способы решения СЛУ.

3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?

4. Назовите формулы Крамера.

Перечислите этапы метода Гаусса.

Резюме к разделу 1.

 

Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак

Матрицы, определители

Вопросы:

1.1.1. Определение матриц, виды матриц;

1.1.2. Операции над матрицами;

1.1.3. Определители;

1.1.4. Свойства определителей;

1.1.5. Миноры и алгебраические дополнения;

1.1.6. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы;

1.1.7. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

Матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

называется прямоугольной матрицей размера , где m - количество строк, а n - количество столбцов.

Определение 2. Числа, которые образуют матрицу, - a _ij, где , , называются элементами матрицы.

Определение 3. Числа i и j называются индексами элемента a _ij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j - в каком столбце находится этот элемент.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц.

Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица размера называется матрицей-столбцом.

.

Матрица размера называется матрицей-строкой.

.

Определение 1. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение 2. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.

Определение 3. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е.

Определение 4. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.

 

Примеры. , .

Операции над матрицами

Определение 1. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается А ^Т.

, , .

Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.

Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц.

Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число..

Определение 4. Произведением двух матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица С, у которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.

Приведем свойства операций над матрицами.

1. А · В В · А - произведение матриц не комму-тативно.

2. А+В = В+А - сложение матриц коммутативно.

3. (А + В) +С = А + (В + С) - ассоциативность.

4. А · Е=Е · А=А.

5. .

6. .

7. .

Определители

Пусть дана квадратная матрица порядка n:

А = .

Определение 1. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".

.

Пример 1. Определитель второго порядка. n =2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.

.

Мнемоническое правило вычисления определителя второго порядка:

слагаемое со знаком "-", слагаемое со знаком "+".

Пример 2. Определитель третьего порядка. n =3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых,

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка:

слагаемые со знаком "+", слагаемые со знаком "-".

Можно построить мнемонические правила для вычисления определителей порядка выше чем три, но они будут слишком громоздкими. Поэтому вычисление таких определителей основано на свойствах определите

Свойства определителей

Теорема 1. При транспонировании величина определителя не меняется.

Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. свойства, справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.

Теорема 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число.

Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.

Теорема 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.

Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.

Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.

Теорема 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д.

Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.

Теорема 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана прямоугольная матрица А размера .

Определение 1. Минором порядка k данной матрицы, где k min(m; n), называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов.

Пример А = , ,

.

Определение 2. Дополнительным минором M _ij к элементу a _ij квадратной матрицы называется определитель (n -1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.

Пример. .

Найдем дополнительный минор к элементу a ₃₁. .

Определение 3. Алгебраическим дополнением A _ij к элементу a _ij квадратной матрицы называется число A _ij = .

Пример. Найдем алгебраическое дополнение к элементу a ₃₃.

.

Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

- разложение определителя по i -й строке.

Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.

1.1.6.

Обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае.

Определение 2. Матрица А ^-1 называется обратной к квадратной матрице А n -го порядка, если А · А ^-1= А ^-1· А = Е.

Теорема 1. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Дана матрица А = , .

Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

А*= - матрица, присоединенная к матрице А;

2) транспонируем полученную матрицу:

(А *)^Т= ;

3) разделим все элементы на число ½ А ½

.

Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А ^-1. Элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце матрицы произведения, будет равен

Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А ^-1= Е, т.е. А ^-1 - обратная матрица к А.

Элементарные преобразования