Корни n-ой степени из единицы

рассмотрим z=1+0i

.

1+0i=r(cos ϕ +isin ϕ)

1+0i=1(cos 0 + i sin 0)

r= r=

cos ϕ= sin ϕ = ϕ=0;

= = (cos + I )=1(cos + i sin ), k 0;n-1.

= cos + I sin

Теорема. Множество всех комплексных корней n-ой степени из единицы образуют абелевую группу относительно умножения (,Ƹ₀,Ƹ₁,Ƹ₂,…, Ƹ_n)

Ƹⁿ _i =1 i=0;n-1

Ƹ⁰=Ƹ₀

Ƹ¹=Ƹ₁

Ƹⁿ=Ƹ_n

Ƹ – произвольный корень

Ƹ = cos + i sin

 

Кольцо многочлена от одной переменной

Рассмотрим некоторое F-коммутативное кольцо с единицей.

F – Z,Q,C,R

ОПР. Многочленом(полиноном) от переменной х заданным над кольцом F, наз. выражение вида

a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +…+a _n x ⁿ, a _i F; i = 0;n, n – целое положительное

f(x)= a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +…+a _n x ⁿ

Опр. если a _n!=0, a _n+1 = 0, a _n+2 = 0, то n = deg f(x), a _n – старший коэ-т, a ₀ – свободный коэ-т.

f(x)=0+0x+…+0x ⁿ – нулевой многочлен он не имеет степени

F[x] – множество всевозможных многочл.над кольцом F

Z[x] – целочисленный многочлен

На множестве F[x] введем 2 операции, умножение и сложение

F ₀ (x), g(x) F[x]

f(x)= a ₀ +a ₁ x+ …+a _n x ⁿ

g(x)= b ₀ +b ₁ x +…+b _k x ^k

f(x)+g(x) = C ₀ +C ₁ x+ …+C _s x ^s, где s – максимум из n и k (C₀=a₀+b_0,C₁=a₁+b₁ …C_i=a_i+b_i)

f(x)*g(x)=d₀+d₁x+…+d_mx^m, где m - сумма k и n; d _i = _j b _t

операция сложения – приведение подобных

операция умножения – раскрытие скобок, прив. подобных

deg(f(x) + g(x)) ≤ max {deg f(x), deg g(x)}

deg (f(x) * g(x))≤ deg f(x) * deg g(x)

ТЕОРЕМА. Множество F[x] является коммутативным кольцом с единицей относительно операции сложения и умножения многочленов

 

81°. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов.

Теорема. пусть f(x) и g(x) – некоторые многочлены, тогда существуют многочлены q(x) и r(x) F[x], что f(x) = g(x)*q(x)+ r(x), r(x) степень меньше чем g(x) или r(x) = 0 данное представление единственно

Док-во: 1) deg f(x)<deg f(x), то f(x)=g(x)*0+f(x) 2) deg f(x)≥deg g(x)

f(x)=f(x)-- если m<n

если k<m, то f(x)=

если k≥m, то , где s<x

продолжая аналогично. Мы найдем f _i (x) степень которого меньше fi(x)=r(x).

Пусть f(x)=g(x)*q(x)+r(x), f ₁ (x)=g(x)* ;

f(x)-f ₁ (x)=g(x)(q(x)- )+(r(x)- )

g(x)(q(x)- )= -r(x)+

 

Наибольший общий делитель многочленов. Взаимно простые многочлены. Алгоритм Евклида.

Опр. Пусть f(x),g(x)ϵF[x] при чем степень многочлена deg f(x)≥ deg(x), f(x) g(x), если сущ. ϕ (x), это f(x)=g(x).

Св-ва.

, если r(x)=0

Опр. Многочлен кот.явл.делителем 2 других многочленов наз. Их общих делителем.

Опр. Наибольшим общим делителем f(x) и g(x) наз. Их общий делитель кот. Делится на все остальные их общие делители. Нод определен с точностью до числового множества. Нод(f(x),g(x))=d(x)

Опр. Многочлены наз. Взаимно простыми., если НОД их явл. Многоченом нулевой степени .

Теорема. Если f(x)=g(x)*q(x)+r(x), то НОД многочлен f(x),g(x), такой же НОД(g(x),f(x)).

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Найти НОД (f(x),g(x)). Пусть Deg f(x) ≥ deg g(x), если f(x) g(x), тогда НОД (f(x),g(x)) = g(x), если не так, то f(x)=g(x)*q(x)+r(x): многочлен.

g(x)=r₁(x)*q₂(x)+r₂(x), если r₂!=0, то

r₁(x)=r₂(x)*q₃(x)+r₃(x)…

r_n-1=r_n(x)*q_n+1(x)

теорема. Если d(x)=НОД(f(x),g(x))

Критерий взаимнопростые многочлены:f(x) и g(x)-взаимопростые

 

Разложение многочлена на неприводимые многочлены.

Пусть f(x) многочлен из F[x], F – поле, многочлен f(x) наз-ся неприводимым над полем F, если он не имеет делителей кроме делителей нулевой степени(α и αf(x)). В противоположном случае многочлен называется приводимым.

Св-ва неприводимого мн-чл.

1)Если f(x) – неприводим, а α – элемент поля, α!=0, то α(f(x)) - неприводим

2)Многочлен 1-ой степени над любым полем неприводим

3)Если f(x) – неприводим, g(x) – произвольный мн/чл., то либо g(x) f(x) или НОД (f(x),g(x))=1

ТЕОРЕМА

Всякий многочлен можно представить в виде произведения неприводимого многочлена, причем данное разложение единственно с точностью до числового множителя и порядка следования множителей.

 

84°. Корни многочлена от одной переменной. Схема Горнера.

Пусть F-поле, С-элемент поля, тогда F(C)= -значение многочлена при x=c.

ОПР. Элемент С взятый из поля F, называется корнем многочлена f(x) F[x], если f(C) = 0

Теорма Безу: Элемент С явл. Корнем f(x), тогда и тока тогда, когда

 

СХЕМА ГОРНЕРА пусть f(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n; C F(элемент поля), f(x)=(x-c)*q(x)+r.

q(x)=b₀x^n-1 + b₁x^n-2 +…+ b_n-2x + b_n-1

	a0	a1	a2	…	an-1	an
C	b0	b1=a1+C*b0	b2=a2+C*b1	…	Bn-1=an-1+C*bn-2	r=an+C*bn-1

Опр. Пусть с-корень f(x). C-наз.K- Кратным корнем f(x), если , но не делится на .

Теорема. Многочлен в степени n имеет n-корень, при этом если многочлен разложен на первую степень, то он имеет n-четное кол-во корней.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

ТЕОРЕМА Для любого натур числа n существует единственный многочлен степени ≤n, который принимает на перед заданные значения для n+первого значения переменной

Д-ВО:

Пусть многочлен f(x)

	A0	…	An
F(x)	B0	…	Bn

f(a₀)=b₀,…, f(a_n)=b_n

f(x) = _{j j}(x)

. _j(x) = ;

f(a₀)= _{j j}(a₀) = b₀ (a_n) + b_{1 1}(a₀)