Знайти область збіжності степеневого ряду.

9.

Для заданого ряду , .

.

Інтервал збіжності ряду задається умовою . Дослідимо поведінку ряду на границях цього інтервалу.

: .

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним , отже, степеневий ряд при розбігається.

: .

Це ряд Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є .

 

10.

Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями на границях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну змінну та розшукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.

; .

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.

, .

Гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд розбігається при .

, .

Гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд розбігається при .

Таким чином, область збіжності ряду задається умовою

, або , .

 

11.

Введемо нову змінну та знайдемо область збіжності отриманого ряду .

Для цього ряду , .

.

Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде . Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу.

, .

Це ряд Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

, .

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним , отже, степеневий ряд при розбігається.

Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові .

Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю

; .

Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок .

 

 

Завдання для самостійної роботи

 

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці .

 

Знайти інтервал збіжності ряду:

2. ; 3. ; 4. ;

5 ; 6. .

 

Знайти область збіжності ряду:

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19 ; 20. .

 

Відповіді.

1. Ряд збігається за ознакою Лейбніца.

2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

 

Розвинення функцій у степеневі ряди

 

Якщо функція має в точці похідні будь-якого порядку, цій функції відповідає ряд Тейлора

=

.

Степеневий ряд у околі точки має назву ряду Маклорена:

=

.

Наведемо розвинення у ряд Маклорена деяких елементарних функцій та вкажемо інтервали збіжності цих рядів (у точках, що належать інтервалам збіжності, ряди збігаються до значень відповідних функцій у цих точках).

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

 

Степеневі ряди мають такі важливі властивості:

а) степеневий ряд можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтегрування належить області збіжності ряду;

б) степеневий ряд можна почленно диференціювати у точках, що належать інтервалу збіжності.

 

 

Зразки розв’язування задач

 

1.Знайти перші два ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції .

Ряд Маклорена має вигляд

.

Обчислимо значення заданої функції та декількох її перших похідних при .

, ;

, ;

, ;

,

.

Тоді розвинення функції має вигляд

,

.

 

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки поліном .

Розвинення у ряд Тейлора полінома буде мати скінченну кількість ненульових членів.

.

;

, ;

, ;

, ;

.

=

.

Розвинути функцію у ряд Маклорена за допомогою табличних розвинень. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду:

 

3.

При побудові розвинення буде введено допоміжну змінну за аргументом складної функції.

;

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

 

4.

;

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

 

5.

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

 

6.

;

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

 

7.

Задану функцію можна записати у вигляді та скористатись табличним розвиненням у біноміальний ряд для .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

.

Повернемося до заданої функції:

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

 

8.

Задану функцію можна записати у вигляді та скористатись табличним розвиненням у біноміальний ряд для .

Спочатку запишемо вказане табличне розвинення:

.

Повернемося до заданої функції:

;

;

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

 

9.Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо у точці значення заданої функції та її кількох похідних, та спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

; ;

; ;

; ;

; .

Легко помітити, що значення похідних є додатними дробами, числівники яких мають факторіальний вигляд, а знаменники є степенями основи 3. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити за формулою

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

;

.

Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.

, ,

.

Тоді ряд абсолютно збігається, якщо .

Таким чином, інтервал збіжності задається умовою .

 

2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

;

.

Таким чином, шукане розвинення має вигляд

.

Інтервал збіжності застосованого табличного ряду визначається нерівністю

, отже, побудований ряд абсолютно збігається, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності побудованого ряду буде .

 

10.Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо у точці значення заданої функції та її кількох похідних, та спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Легко помітити, що парні похідні дорівнюють 0, а значення непарних є знакозмінними дробами, числівники яких є степенями основи , а знаменники – степенями основи 10. Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити за формулою

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Знайдемо інтервал збіжності ряду за допомогою ознаки Даламбера:

,

;

.

Нерівність справджується для будь-якого значення , отже, ряд буде збіжним для .

 

2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

.

Таким чином, шукане розвинення має вигляд

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

 

11.Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

1 спосіб. Ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо у точці значення заданої функції та її кількох похідних, та спробуємо знайти закономірність, якій вони підкоряються.

, ;

, ;

, ;

, .

Аналіз цих виразів приводить до висновку, що шукані значення похідних можна обчислити за формулою

.

Тоді ряд Тейлора для заданої функції має вигляд

.

Обчислимо радіус збіжності отриманого ряду.

, ,

.

Таким чином, ряд буде збіжним при .

 

2 спосіб. Використаємо табличне розвинення у ряд Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

.

Таким чином, шукане розвинення має вигляд

.

Табличний ряд буде збігатися при , отже, побудований ряд буде збіжним при .

 

12.Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд Маклорена.Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

.

; ; .

; ; .

Тоді

.

Умовами збіжності допоміжних рядів були нерівності та , тоді отриманий ряд буде збігатися, якщо

.

Остаточно , .

 

13.Розвинути в степеневий ряд функцію в околі точки .

Побудуємо шукане розвинення за допомогою табличних розвинень у ряд Маклорена. Для цього виконаємо заміну змінної та перетворимо функцію до вигляду, який дозволяє використати вказане розвинення.

;

;

.

Запишемо необхідне для подальшого розв’язування задачі табличне розвинення.

.

Отримуємо

; .

;

; .

;

.

Остаточно , .

 

14.Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею .

Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

,

; .

Отриманий ряд збігається на всій множині дійсних чисел, отже, його можна почленно інтегрувати у будь-якому скінченному проміжку. Тоді з урахуванням того, що , маємо

.

Легко помітити, що отримане розвинення відповідає функції , яка є первісною для підінтегральної функції.

 

15.Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею .

Запишемо розвинення у ряд Маклорена підінтегральної функції .

.

Як відомо, інтервалом збіжності отриманого ряду є , крім того, можна показати за допомогою теореми Лейбніца, що цей ряд збігається також, якщо , отже, цей ряд можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтегрування повністю належить множині .

=

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

1. Знайти перші три ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції .

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки поліном .

 

Записати розвинення функції у ряд Маклорена. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду.

3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .

Записати розвинення функції у ряд Тейлора в околі заданої точки. Вказати інтервал збіжності отриманого ряду.

10. , . 11. , .

12. , . 13. , .

14. , . 15. , .

16. , .

Записати у вигляді ряду інтеграл зі змінною верхньою границею.

17. . 18. . 19. .

Відповіді.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

Розділ 3.

ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ