З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий ряд.

 

6.

Загальний член ряду задається формулою . Це неправильна дробово-раціональна функція (степінь числівника не менший за степінь знаменника), отже, доцільно скористатися необхідною умовою збіжності.

. За необхідною умовою збіжності ряд розбігається.

 

7. .

Степінь числівника більший за степінь знаменника , отже, доцільно скористатися необхідною умовою збіжності.

. Ряд розбігається.

 

8.

не існує, отже, за необхідною умовою збіжності ряд розбігається.

 

9.

Загальний член ряду є правильною дробово-раціональною функцією (степінь числівника менший за степінь знаменника), числівник еквівалентний величині , знаменник – , отже, ~ .

Порівняємо досліджуваний ряд з розбіжним гармонійним рядом .

.

Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд також є розбіжним.

 

10.

Скористаємося граничною ознакою порівняння. Оберемо допоміжний ряд.

~ ~ ;

~ ;

~ .

Таким чином, ~ .

Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом , який є збіжним, оскільки показник степеня .

.

Згідно з граничною ознакою порівняння ряд також збігається.

 

11.

Загальний член ряду містить арксинус нескінченно малого аргументу, отже, за допомогою граничної ознаки порівняння можна щонайменше позбутися оберненої тригонометричної функції.

Скористаємося наслідком першої важливої границі та оберемо ряд для порівняння.

~ ~ .

Порівняємо досліджуваний ряд з узагальненим гармонійним рядом , який є розбіжним, оскільки показник степеня .

.

Згідно з граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд також розбігається.

 

12. .

Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм степеневої функції буде меншим за будь-який додатний степінь.

;

.

Ряд збігається, оскільки показник степеня , отже, згідно з ознакою порівняння ряд також буде збіжним.

 

13.

Скористаємося тим, що для досить великих значень змінної логарифм степеневої функції буде більшим за одиницю.

;

.

Ряд розбігається, оскільки показник степеня , отже, згідно з ознакою порівняння ряд також буде розбіжним.

Зауваження. Якщо логарифмічна функція розташована у знаменнику, для її оцінювання доцільно скористатися нерівністю .

 

14.

До загального члена ряду входить показникова функція, отже, можна використати признак Даламбера.

, .

.

За ознакою Даламбера ряд збігається.

 

15.

Побудуємо формулу загального члена ряду. Числівники дробів є факторіалами чисел , які складають арифметичну прогресію з першим членом 1 та різницею 2, тобто відповідають формулі . Знаменники дробів є факторіальними добутками, останні множники яких обчислюються як . Тоді загальний член ряду має вигляд . У цьому випадку також доцільно скористатися ознакою Даламбера.

.

За ознакою Даламбера ряд розбігається.

 

16.

Загальний член ряду є арктангенсом нескінченно малого аргументу, який містить факторіал, отже, скористаємося ознакою Даламбера.

, .

При обчисленні використаємо наслідок першої важливої границі , тобто при .

За ознакою Даламбера ряд збігається.

 

17.

Спроба використати ознаку Даламбера для дослідження наданого ряду призведе до результату . Скористаємося ознакою порівняння.

.

Помітимо, що кожен з множників буде більшим за одиницю, отже, справджується нерівність .

Ряд буде розбіжним за необхідною умовою збіжності , тоді, згідно з ознакою порівняння, досліджуваний ряд також буде розбіжним.

 

18.

Як і у попередньому прикладі, ознака Даламбера призведе до результату . Знову скористаємося ознакою порівняння.

.

Легко помітити, що кожний з множників , , більший за одиницю.

Тоді . Гармонічний ряд розбігається, отже, за ознакою порівняння ряд також буде розбіжним.

 

19.

Загальний член ряду є степенево-показниковою функцією, отже, можна спробувати радикальну ознаку Коші.

.

За радикальною ознакою Коші ряд розбігається.

 

20.

Скористаємося радикальною ознакою Коші.

.

За радикальною ознакою Коші ряд збігається.

21.

Скористаємося радикальною ознакою Коші. При обчисленні використаємо другу важливу границю .

.

За радикальною ознакою Коші ряд збігається.

 

22.

Спроба використати радикальну ознаку Коші призведе до результату . Скористаємося необхідною умовою збіжності.

.

Ряд розбігається.

 

23.

Загальний член ряду задається за допомогою функції . Ця функція неперервного аргументу для набуває додатних значень та є спадною. Обчислимо невласний інтеграл першого роду від цієї функції та скористаємося інтегральною ознакою Коші.

=

.

Інтеграл є розбіжним, отже, ряд також розбігається.

 

 

Завдання для самостійної роботи

 

З’ясувати за допомогою означення, чи буде збіжним числовий ряд, та за умови позитивної відповіді знайти суму ряду.

 

1. 2. 3.

З’ясувати за допомогою ознак збіжності, чи буде збіжним числовий ряд.

 

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25. 26.

27. 28.

29. 30. 31.

32. 33.

34.

 

Відповіді.

1. Розбігається. 2. Збігається, . 3. Збігається, . 4. За необхідною умовою розбігається. 5. За необхідною умовою розбігається. 6. За необхідною умовою розбігається. 7. За необхідною умовою розбігається. 8. За необхідною умовою розбігається. 9. За необхідною умовою розбігається. 10. За граничною ознакою порівняння розбігається. 11. За граничною ознакою порівняння збігається. 12. За граничною ознакою порівняння розбігається. 13. За граничною ознакою порівняння збігається. 14. За ознакою порівняння розбігається. 15. За ознакою порівняння збігається. 16. За граничною ознакою порівняння розбігається. 17. За граничною ознакою порівняння збігається. 18. За інтегральною ознакою Коші ряд розбігається. 19. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 20. За інтегральною ознакою Коші ряд збігається. 21. За ознакою Даламбера ряд розбігається. 22. За ознакою Даламбера ряд збігається. 23. За ознакою Даламбера ряд збігається. 24. За ознакою Даламбера ряд збігається. 25. За ознакою Даламбера ряд збігається. 26. За ознакою Даламбера ряд розбігається. 27. За ознакою Даламбера ряд збігається. 28. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 29. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 30. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається. 31. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 32. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 33. За радикальною ознакою Коші ряд збігається. 34. За радикальною ознакою Коші ряд розбігається.

 

Знакозмінні ряди

 

Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні, такий ряд називається знакозмінним.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Якщо ряд є збіжним, а ряд з абсолютних величин розбігається, то такий знакозмінний ряд називається умовно збіжним.

Ряд, члени якого по черзі є додатними та від’ємними, називається рядом з чергуванням знаків (або рядом Лейбніца).Такий ряд доцільно записувати у вигляді .

 

Теорема Лейбніца.

Якщо виконуються такі умови:

1) ; та

2) послідовність , , … …є монотонно спадною,

то ряд збігається.

Зауваження. Теорема Лейбніца надає достатню умову збіжності рядів з чергуванням знаків, отже, у випадку не монотонно спадної, але нескінченно малої послідовності робити висновок про розбіжність ряду неприпустимо.

 

Зразки розв’язування задач